用数学归纳法证明:X的(2n-1)次方 +Y的(2n-1)次方能被X+Y整除
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/17 02:53:39
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用数学归纳法证明:X的(2n-1)次方 +Y的(2n-1)次方能被X+Y整除
用数学归纳法证明:
X的(2n-1)次方 +Y的(2n-1)次方能被X+Y整除
用数学归纳法证明:X的(2n-1)次方 +Y的(2n-1)次方能被X+Y整除
证明:(1)当n=1时,x^(2n-1)+y^(2n-1)=x+y
∴x^(2n-1)+y^(2n-1)能被(x+y)整除
故命题成立.
(2)假设当n=k时,x^(2k-1)+y^(2k-1)能被(x+y)整除
当n=k+1时,
有x^(2k+1)+y^(2k+1)
=x²*x^(2k-1)+x²*y^(2k-1)+y²y^(2k-1)-x²*y^(2k-1)
=x²[x^(2k-1)+y^(2k-1)]+(y²-x²)y^(2k-1)
=x²[x^(2k-1)+y^(2k-1)]+(y-x)(x+y)y^(2k-1)
∵由假设知x^(2k-1)+y^(2k-1)能被(x+y)整除
显然x+y能被(x+y)整除
∴x²[x^(2k-1)+y^(2k-1)]+(y-x)(x+y)y^(2k-1)能被(x+y)整除
故x^(2k+1)+y^(2k+1)能被(x+y)整除
∴由数学归纳法知x^(2n-1)+y^(2n-1)能被(x+y)整除.
n=1时有 x^(2*1-1)+y^(2*1-1)=x+y 能被x+y整除
假设n=k时结论成立,即 x^(2k-1)+y^(2k-1)能被x+y整除
n=k+1时,原式= x^(2k+1)+y^(2k+1)=x^2*x^(2k-1)+y^2*y^(2k-1)=x^2*x^(2k-1)+y^2*y^(2k-1)-y^2*x^(2k-1)+y^2*x^(2k-1)=(x^2-y^2)...
全部展开
n=1时有 x^(2*1-1)+y^(2*1-1)=x+y 能被x+y整除
假设n=k时结论成立,即 x^(2k-1)+y^(2k-1)能被x+y整除
n=k+1时,原式= x^(2k+1)+y^(2k+1)=x^2*x^(2k-1)+y^2*y^(2k-1)=x^2*x^(2k-1)+y^2*y^(2k-1)-y^2*x^(2k-1)+y^2*x^(2k-1)=(x^2-y^2)*x^(2k-1) + y^2*[x^(2k-1)+y^(2k-1)]=(x+y)(x-y)x^(2k-1)+y^2*[x^(2k-1)+y^(2k-1)]
第一项 显然能被x+y整除 ,第二项根据n=k时的假设也是能被整除的,也就是说n=k+1时成立 ,因此结论得证
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