用数学归纳法证n!>(1/2)n^(1/2)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/04 18:55:17
用数学归纳法证n!>(1/2)n^(1/2)
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用数学归纳法证n!>(1/2)n^(1/2)
用数学归纳法证

n!>(1/2)n^(1/2)

用数学归纳法证n!>(1/2)n^(1/2)
本题在用数学归纳法时,要用到一个结论:n^n>(n+1)^(n-1) ,
可用 e 的性质证明上述结论:
因为 (1+1/n)^n=2) 时 k!>1/2*k^(k/2) ,
那么 (k+1)!=(k+1)*k!>(k+1)*1/2*k^(k/2)>(k+1)*1/2*(k+1)^[(k-1)/2]=1/2*(k+1)^[(k+1)/2] ,
因此当 n=k+1 时结论也成立,
所以,对任意正整数 n ,n!>1/2*n^(n/2) .