1991个1991依次连写组成一个多位数,求这个多位数被13除的余数小学的奥数题
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/13 12:10:03
![1991个1991依次连写组成一个多位数,求这个多位数被13除的余数小学的奥数题](/uploads/image/z/1034297-17-7.jpg?t=1991%E4%B8%AA1991%E4%BE%9D%E6%AC%A1%E8%BF%9E%E5%86%99%E7%BB%84%E6%88%90%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%A4%9A%E4%BD%8D%E6%95%B0%2C%E6%B1%82%E8%BF%99%E4%B8%AA%E5%A4%9A%E4%BD%8D%E6%95%B0%E8%A2%AB13%E9%99%A4%E7%9A%84%E4%BD%99%E6%95%B0%E5%B0%8F%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%A5%A5%E6%95%B0%E9%A2%98)
1991个1991依次连写组成一个多位数,求这个多位数被13除的余数小学的奥数题
1991个1991依次连写组成一个多位数,求这个多位数被13除的余数
小学的奥数题
1991个1991依次连写组成一个多位数,求这个多位数被13除的余数小学的奥数题
1991个1991依次写除以1991是
10001……1001
共含有1991个1
10001……10001=1+10^4+10^8+……+(10^4)^1990
而10^4≡3(MOD13)
所以
1+10^4+10^8+……+(10^4)^1990≡1+3+3^2+……3^1990(MOD13)
而1+3+3^2+……+3^1990
=(1+3^3+3^+……+3^1989)
+3(1+3^3+3^+……+3^1989)
+3^2(1+3^3+3^+……+3^1989)-3^1991
=(1+3+9)(1+3^3+3^+……+3^1989)-3^1991
=13(1+3^3+3^+……+3^1989)-3^1991
所以
19911991……19911991≡1991*(1+3+3^2+……+3^1990)≡1991*(-3^1991)≡-1991*9*3^1989≡-1991*9*27^663(MOD13)
而27^336≡(2*13+1)^336≡1(MOD13)
所以
19911991……19911991≡-1991*9≡-2*9≡-18≡8(MOD13)
即余数为8.
因为199119911991/13=15316916307
即3个1991所组成的数是13的倍数,
又因为 1991/13=153……2
所以1991个1991依次连写组成一个多位数除以13的余数与2个1991组成的多位数除以13的余数相同
19911991/13=1531691……8
所以这个多位数被13除的余数是8
可写成1991*100010001000...10001,因为13可被111111整除,所以可被100010001000100010001整除,共6个1,1991除以6的余数为5,1991除以13的余数为2,因此可转化为求2*10001000100010001的余数,100010001000100010001=10001000100010001+1+999...9(20个9),999...9(20...
全部展开
可写成1991*100010001000...10001,因为13可被111111整除,所以可被100010001000100010001整除,共6个1,1991除以6的余数为5,1991除以13的余数为2,因此可转化为求2*10001000100010001的余数,100010001000100010001=10001000100010001+1+999...9(20个9),999...9(20个9)=999...91+8,999...9(18个9)可被13整除(18是6的倍数),所以10001000100010010可被13整除,因此10001000100010001除以13余4,则2*10001000100010001余8
收起