作业帮(2x-y^2)y’=2y的通解
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/07 12:30:48
(2x-y^2)y’=2y的通解
(2x-y^2)y’=2y的通解
(2x-y^2)y’=2y的通解
求微分方程(2x-y²)y'=2y的通解
由原式得：(2x-y²)dy=2ydx,即有2ydx+(y²-2x)dy=0.(1)
P=2y,Q=y²-2x；∂P/∂y=2；∂Q/∂x=-2；∂P/∂y≠∂Q/∂x,故不是全微分方程.
下面找一个积分因子μ(x,y),使其变为全微分方程.
由于(1/P)[(∂P/∂y)-(∂Q/∂x)]=(1/2y)(2+2)=2/y是y的函数(不含x),因此积分因子
μ=e^[∫(-2/y)dy]=e^(-2lny)=e^(lny⁻²)=y⁻²=1/y².
将(1)式两边同乘以1/y²得(2/y)dx+(1-2x/y²)dy=d[(2x+y²)/y]=0
积分之得通解为： (2x+y²)/y=C.
显然，y=0是原方程的解
当y≠0时，
∵(2x-y^2)y'=2y
==>-2xdy+2ydx+y^2dy=0
==>-2xdy/y^2+2dx/y+dy=0 (等式两端同除y^2)
==>2xd(1/y)+2dx/y+dy=0
...
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显然，y=0是原方程的解
当y≠0时，
∵(2x-y^2)y'=2y
==>-2xdy+2ydx+y^2dy=0
==>-2xdy/y^2+2dx/y+dy=0 (等式两端同除y^2)
==>2xd(1/y)+2dx/y+dy=0
==>2d(x/y)+dy=0
==>2x/y+y=C (C是常数)
==>2x+y^2=Cy
∴2x+y^2=Cy也是原方程的解
故原方程的通解是y=0或2x+y^2=Cy。
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