利用导数定义函数方程设f(x)在(0,无穷大)定义,且f'(1)=a(a不等于0),对于y(0,无穷大)有f(xy)=f(x)+f(y),求f(x)只要基本思路我就给分.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/14 11:30:49
![利用导数定义函数方程设f(x)在(0,无穷大)定义,且f'(1)=a(a不等于0),对于y(0,无穷大)有f(xy)=f(x)+f(y),求f(x)只要基本思路我就给分.](/uploads/image/z/10426162-58-2.jpg?t=%E5%88%A9%E7%94%A8%E5%AF%BC%E6%95%B0%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%87%BD%E6%95%B0%E6%96%B9%E7%A8%8B%E8%AE%BEf%28x%29%E5%9C%A8%EF%BC%880%2C%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%A4%A7%EF%BC%89%E5%AE%9A%E4%B9%89%2C%E4%B8%94f%27%281%29%3Da%28a%E4%B8%8D%E7%AD%89%E4%BA%8E0%EF%BC%89%2C%E5%AF%B9%E4%BA%8Ey%EF%BC%880%2C%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%A4%A7%EF%BC%89%E6%9C%89f%28xy%29%3Df%28x%29%2Bf%28y%29%2C%E6%B1%82f%28x%29%E5%8F%AA%E8%A6%81%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E6%80%9D%E8%B7%AF%E6%88%91%E5%B0%B1%E7%BB%99%E5%88%86.)
利用导数定义函数方程设f(x)在(0,无穷大)定义,且f'(1)=a(a不等于0),对于y(0,无穷大)有f(xy)=f(x)+f(y),求f(x)只要基本思路我就给分.
利用导数定义函数方程
设f(x)在(0,无穷大)定义,且f'(1)=a(a不等于0),对于y(0,无穷大)有f(xy)=f(x)+f(y),求f(x)
只要基本思路我就给分.
利用导数定义函数方程设f(x)在(0,无穷大)定义,且f'(1)=a(a不等于0),对于y(0,无穷大)有f(xy)=f(x)+f(y),求f(x)只要基本思路我就给分.
用导数定义的解法:
根据导数定义
f’(x)=lim(⊿x->0)[f(x+⊿x)-f(x)]/⊿x
=lim(⊿x->0){f[x(1+⊿x/x)]-f(x)}/⊿x
=lim(⊿x->0)[f(x)+f(1+⊿x/x)-f(x)]/⊿x .∵f(xy)=f(x)+f(y)
=lim(⊿x->0)[f(1+⊿x/x)/⊿x
=f’(1)/x
=a/x
∴f(x)=alnx+C (C为任意常数)
又f(xy)=f(x)+f(y)
∴f(x*1)=f(x)+f(1)
∴f(1)=0
∴aln1+C=0
C=0
∴f(x)=alnx
因f(xy)=f(x)+f(y)
所以两边对x求导可得(左边要用到链式法则)
yf'(xy)=f'(x)
令x=1
则得yf'(y)=a
即f'(y)=a/y
两边积分得到
f(y)=a ln(y)+C
由f(x*1)=f(x)+f(1)
f(1)=0
带入原式得C=0
即f(x)=a ln(x)
f(x*1)=f(x)+f(1) 得f(1)=0
f(x^2)=f(x)+f(x) 得2f(x)=f(x^2)
得微分方程 [df(x^2)]/[2xdx]=2[df(x)]/(dx) 又f`(1)=a
可得 df(x)/dx=a/x
两边积分得f(x)=alnx+C 又f(1)=0 得C=0
最后得f(x)=alnx
f(xy)=f(x)+f(y)
函数f是ln型的
考虑lnx
(lnx)'=1/x
因为f'(1)=a 令f(x)=a*ln(x) 即可