已知函数f(x)=ax+lnx,a∈R,对于曲线上不同两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)求证:存在曲线上的唯一点M(x0,y0),x1
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 17:46:38
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已知函数f(x)=ax+lnx,a∈R,对于曲线上不同两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)求证:存在曲线上的唯一点M(x0,y0),x1
已知函数f(x)=ax+lnx,a∈R,对于曲线上不同两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)
求证:存在曲线上的唯一点M(x0,y0),x1
已知函数f(x)=ax+lnx,a∈R,对于曲线上不同两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)求证:存在曲线上的唯一点M(x0,y0),x1
当然有高中思路啦
原问题即转化为:f'(x)=(y2-y1)/(x2-x1)在(x1,x2)上有唯一解
且f'(x)=a+1/x
所以即为证明:a+1/x=(y2-y1)/(x2-x1)在(x1,x2)上有唯一解
将y=ax+lnx带入,则:
即证a+1/x=a+(lnx2-lnx1)/(x2-x1)在(x1,x2)上有唯一解
两边消去a,即证:
1/x=(lnx2-lnx1)/(x2-x1)在(x1,x2)上有唯一解
注意,x1,x2是两个确定的值,所以上式实际上是关于x的一次函数:
即证:(lnx2-lnx1)x=x2-x1在(x1,x2)上有唯一解
又因为:可解得x=(x2-x1)/(lnx2-lnx1)=x0
所以即证:x0∈(x1,x2)
即证:(x2-x1)/(lnx2-lnx1)大于x1且小于x2
先证:(x2-x1)/(lnx2-lnx1)大于x1
即证:x2-x1大于(lnx2-lnx1)x1
把x1除过去,换元令t=x2/x1,即证:t-1〉lnt
其中:因为x2大于x1大于0,所以t大于1
移项构造函数,求导即可证明t-1-lnt大于0,即t-1〉lnt
所以:(x2-x1)/(lnx2-lnx1)大于x1
同理可证:(x2-x1)/(lnx2-lnx1)小于x2
综上,原命题得证
没想到明天就高考了的时候,还能帮你解决一个问题呢
罗尔定理
http://baike.baidu.com/view/398971.html?wtp=tt
拉格朗日中值定理
http://baike.baidu.com/view/103944.htm?func=retitle
要证明唯一,只需要证明函数f(x)有唯一的极值..........