一道初三的数学竞赛题D为等边△ABC的外接圆弧BC上的一点,连接AD、BD、CD,⊙I1、I2分别为△ABD、△ACD的内接圆,MN为两圆的公切线,并交AD于F.求证：（1）MN=BM+CN（2）F为AD的中点（3）I1I2^2=BI1^2+CI2^2

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/12/02 18:29:49
一道初三的数学竞赛题D为等边△ABC的外接圆弧BC上的一点,连接AD、BD、CD,⊙I1、I2分别为△ABD、△ACD的内接圆,MN为两圆的公切线,并交AD于F.求证：（1）MN=BM+CN（2）F为AD的中点（3）I1I2^2=BI1^2+CI2^2
xV[SF+43Xh%[r2cI&1b&NgdH066!sIBZ ILRd =+`i>ݳ{;oW]cZr9 oM+ejKNJ`^_tf6jמ]cTc ,Q|H2u00T.p%yHd $@}H6u+\p} i[)ٶfv=zT[>ZO{CRLLH XUZE7 ȸK~ޖ3BlZIrWo0FFKK#ÆpiΝWѨ ڠcy`Ԇ? \fD,vI|,y[HЌ,q a$ fј0<Dz=kh1Sx|* qaK%fLMIJY>CKGY:Ag/˩Z:|Tކm=pWޮQpSoN nlKiw~m; pVf"ڄ7J)u£J.jӓ 4EL4/o#rݽ'v]@ZX$tX QpJ ?(%Yh tXR S.xV <aUV JOX):ܽFr6w)g{<P/ʮSŃiJծx_8s HvP\Si1-( "66ɳRȟ 4 Ĵy'1 ӝn'(g(QVdc[o?;KFx+vLmSHI N\CZO7@"|WH>R.:dmיĉ4Ok͓kzdH$GܕwPV>S*vWݹNQRR'ID"pUc(ru.B\H >s31KWJS0D٣̟*^%$䆲B)p 1i!Y6\ށ/܇[ "?&"-"N~=fmdYd릙&MsY!E,8&I#L %5 e.ȅEMpd,ȏyAƇulm.{ﾻ7M2p ?gyqr?tE8

一道初三的数学竞赛题D为等边△ABC的外接圆弧BC上的一点,连接AD、BD、CD,⊙I1、I2分别为△ABD、△ACD的内接圆,MN为两圆的公切线,并交AD于F.求证：（1）MN=BM+CN（2）F为AD的中点（3）I1I2^2=BI1^2+CI2^2
一道初三的数学竞赛题
D为等边△ABC的外接圆弧BC上的一点,连接AD、BD、CD,⊙I1、I2分别为△ABD、△ACD的内接圆,MN为两圆的公切线,并交AD于F.求证：
（1）MN=BM+CN
（2）F为AD的中点
（3）I1I2^2=BI1^2+CI2^2

一道初三的数学竞赛题D为等边△ABC的外接圆弧BC上的一点,连接AD、BD、CD,⊙I1、I2分别为△ABD、△ACD的内接圆,MN为两圆的公切线,并交AD于F.求证：（1）MN=BM+CN（2）F为AD的中点（3）I1I2^2=BI1^2+CI2^2
三问可以互相推导,证明尽量点名要点,不细说
证法一：
点的标注如图所示,假设圆I1的半径为R,圆I2的半径为r
1) 显然2PQ=2(DP-DQ)=2(DR-DS)=(BD+AD-AB)-(CD+AD-AC)=BD-CD=(DR-DS)+(BR-CS),于是PQ=DR-DS=BR-CS
2) 又PQ=FQ-FP=FH-FG,和1)的结论比较,有BR-CS=FH-FG
3) 很容易证明△BRI1相似于△I2SC（提示：∠I1BR=(1/2)∠ABD,∠I2CS=(1/2)∠ACD,∠ABD+∠ACD=180°）,于是BR*CS=R*r
4) 很容易证明△FGI1相似于△I2HF（提示：∠I1FG=(1/2)∠GFD,∠I2FH=(1/2)∠HFD,∠GFD+∠HFD=180°）,于是FH*FG=R*r
5) 比较3)、4)的结论有BR*CS=FH*FG,结合2)的结论可知BR=FH,CS=FG
第一问：
6) 根据5)的显然有MN=BM+CN
第二问：
7) 证明AD=BD+CD.直接的证明是根据托勒密定理：AD*BC=AC*BD+AB*CD,于是AD=BD+CD.简单的证明可以在AD上取点E,使得DE=BD,然后证明△ABE≌△CBD
8) 显然MF+BD=BM+DF,NF+CD=CN+DF,两式相加并利用6)、7)的结论化简有AD=2DF,于是F是AD的中点
第三问：
9) 利用3)、5)的结论,有I1I2^2=(R-r)^2+(FH+FG)^2=(R-r)^2+(BR+CS)^2=(R^2+BR^2)+(r^2+CS^2)+2(BR*CS-R*r)=BI1^2+CI2^2
证法二：
取△BCD的内心I3,显然I3在AD上
1) 根据∠I1BI3=∠I3DI1=30°可知I1、I3、D、B四点共圆,并且BI1=I3I1
2) 根据∠I2CI3=∠I3DI2=30°可知I2、I3、D、C四点共圆,并且CI2=I3I2
3) 根据1)、2)的结论,易知∠I1I3I2=90°,于是I1I2^2=I1I3^2+I2I3^2=BI1^2+CI2^2
第三问得证.然后可以证明第一问（需要利用BR*CS=R*r）,然后可以证明第二问

有空来解决，先做个记号

.......明天给你 （3）I1I2^2=BI1^2+CI2^2 这什么意思!

本人初二，自认智商很高。
有难度，介绍点定理来。没基础。

一道初三的数学竞赛题D为等边△ABC的外接圆弧BC上的一点,连接AD、BD、CD,⊙I1、I2分别为△ABD、△ACD的内接圆,MN为两圆的公切线,并交AD于F.求证：（1）MN=BM+CN（2）F为AD的中点（3）I1I2^2=BI1^2+CI2^2 数学一道关于等边三角形的证明 看图看题证明 如图.D是等边△ABC的边AB上的一点,以CD为边作为等边△CDE,联结AE,说明AE∥BC的理由 一道北京市初二数学竞赛题.在等边△ABC中 P为AB上的一点 Q为AC边上的一点 且AP=CQ 今量得A点与线段PQ的重点M之间的距离是19cm 则P点到C点的距离等于__________ 弟弟问我一道中考数学上的一道问题,谁会,快来教我~急 如图1,已知△ABC...（1）如图1,已知△ABC,以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,连接BE,CD,请你完成图形,并证明：BE=CD；（尺规作图, 初三相似三角形的判定证明题(1)如图1,等边△ABC中,D是AB边上的动点,以CD为一边,向上作等边△EDC,连接AE,求证:AE‖BC.(2)如图2,将(1)中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形,所作△EDC改成相 一道三角形问题!急!已知等边△ABC外有一点P,设P到BC、CA、AB的距离分别为h1、h2、h3,且h1-h2+h3=6,那么等边△ABC的面积是? 已知等边△ABC中,D、E分别为AC、BC的中点,联结BD,以BD为边作等边△BDF.求证：四边形AFBE为矩形 一道C3数学竞赛题 帮下△ABC中AB=ACA ∠A为锐角,CD为AB 边上的高,I为三角形ACD的内心 则∠AIB的度数是 135 如图所示,D为等边△ABC的AB边上一点,以CD为一边,向上作等边△CDE,连接AE.求证：AE‖BC 等边△ABC中,D是AB边上的动点,以CD为一边,向上作等边△CDE,连结AE.求证:AE//BC. 如图,等边△ABC中,D是AB边上的动点,以CD为一边向上作等边△EDC.连接AE.求证：AE//BC. 如图,等边△ABC中,D是AB边上的动点,以CD为一边,向上作等边△EDC,连接AE,求证：AE‖BC. 如图,等边△ABC中,D是AB边上的动点,以CD为一边,向上作等边△EDC,连接AE,求证:AE//BC. 等边△ABC中,D是AB边上的动点,以CD为一边,向上作等边△EDC,连接AE,求证:AE// 等边△ABC中,D是AB边上的动点,以CD为一边,向上作等边△EDC,连接AE,求证：AE‖BC. 数学等边三角形的应用题如图,在等边△ABC中,D为BC边上一点,E为AC边上一点,且∠ADE=60°,DE=3,CE=2,求△ABC的边长. 关于矩形的一道题,3Q啦,就今天哦,已知等边△ABC中,D·E分别为AC,BC的中点,连接BD,以BD为边做等腰三角形BDF,求证四边形AFBE为矩形 如图所示,等边△ABC的外接圆半径为R,求等边△ABC的边长,边心距,周长和面积