作业帮求微分方程通解的疑问例如一个微分方程： dy/dx=2xy书上写通过两端求解可以得到 ln|y|=x^2 + c1 -----(这里c1中的1是一个小1, 在c的右下角)最后是 y=+- e^(c1)e^(x^2)这个时候书上说 +- e^(c1) 是任意非0
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/27 23:33:02
求微分方程通解的疑问例如一个微分方程： dy/dx=2xy书上写通过两端求解可以得到 ln|y|=x^2 + c1 -----(这里c1中的1是一个小1, 在c的右下角)最后是 y=+- e^(c1)e^(x^2)这个时候书上说 +- e^(c1) 是任意非0
求微分方程通解的疑问
例如一个微分方程： dy/dx=2xy
书上写通过两端求解可以得到 ln|y|=x^2 + c1 -----(这里c1中的1是一个小1, 在c的右下角)
最后是 y=+- e^(c1)e^(x^2)
这个时候书上说 +- e^(c1) 是任意非0常数,----这句我懂
y恒等于0 是dy/dx=2xy 的解-----这里是为什么 而且我怎么觉得这句话不影响结果?
最后结果是y=Ce^(x^2) C 是表示常数的那个C
求微分方程通解的疑问例如一个微分方程： dy/dx=2xy书上写通过两端求解可以得到 ln|y|=x^2 + c1 -----(这里c1中的1是一个小1, 在c的右下角)最后是 y=+- e^(c1)e^(x^2)这个时候书上说 +- e^(c1) 是任意非0
这个是奇解问题,在非相关专业是不要求的,如果是学习常微分方程的课程可以继续往这章的后面看,会专门讲奇解的特性,在讲利亚普诺夫第二方法的时候还会给出奇解的物理和工程学意义,非常重要但是不用着急,越学到后面理解会越深刻.
如果学的是通用高等数学的话我来直观描述一下这个y==0的含义（但是无需掌握,这个不在教学大纲和考研大纲的要求内）：微分方程的通解是某一类曲线或者叫做一族曲线,这个概念可以理解为解析表达式会含有待定常数,如果这个待定常数变成变量的话,曲线也会在坐标轴上移动,所以会形成一族曲线.
而在我们解方程的时候,经常会碰到某一个非常特殊的解,它不能用通解的解析式来描述,但是却符合通解方程,这个解的曲线就显得非常特殊,叫做奇解.如果把奇解和通解画到坐标轴上,就能够发现任意一个通解都会与奇解相切,因此奇解的曲线又被叫做包络线.奇解的求解过程极为复杂,甚至很多不搞微分的数学专业的学生都不会研究这个东西,在高数之中更是无需求奇解的.
书上说的y==0也是原方程的解就是为了说明这一点,通解的解析式并非能够表示方程的所有解.