如图AB AC AD是园中的三条弦,点E在AD上,且AB=AC=AE ,AD与BC交与G 求证1,∠CAD=2∠DBE 2.AD平方—AB平方=BD×DC图片
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/12 08:18:36
![如图AB AC AD是园中的三条弦,点E在AD上,且AB=AC=AE ,AD与BC交与G 求证1,∠CAD=2∠DBE 2.AD平方—AB平方=BD×DC图片](/uploads/image/z/10917848-56-8.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BEAB+AC+AD%E6%98%AF%E5%9B%AD%E4%B8%AD%E7%9A%84%E4%B8%89%E6%9D%A1%E5%BC%A6%2C%E7%82%B9E%E5%9C%A8AD%E4%B8%8A%2C%E4%B8%94AB%3DAC%3DAE+%2CAD%E4%B8%8EBC%E4%BA%A4%E4%B8%8EG+%E6%B1%82%E8%AF%811%2C%E2%88%A0CAD%3D2%E2%88%A0DBE+2.AD%E5%B9%B3%E6%96%B9%E2%80%94AB%E5%B9%B3%E6%96%B9%3DBD%C3%97DC%E5%9B%BE%E7%89%87)
如图AB AC AD是园中的三条弦,点E在AD上,且AB=AC=AE ,AD与BC交与G 求证1,∠CAD=2∠DBE 2.AD平方—AB平方=BD×DC图片
如图AB AC AD是园中的三条弦,点E在AD上,且AB=AC=AE ,AD与BC交与G 求证1,∠CAD=2∠DBE 2.AD平方—AB平方=BD×DC
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如图AB AC AD是园中的三条弦,点E在AD上,且AB=AC=AE ,AD与BC交与G 求证1,∠CAD=2∠DBE 2.AD平方—AB平方=BD×DC图片
你图中的这个圆我暂且称为圆X.
首先,以A为圆心,AB为半径做个圆,记为圆A.由AB=AC=AE知B、C、E在圆A上.
圆X中有圆周角∠DBC=∠EAC,圆A中有圆心角∠EAC=2∠EBC,合起来就是∠EAC=∠DBC=2∠EBC=2∠DBE,第一问得证.
第二问即证(AD+AB)(AD-AB)=BD×DC,AD-AB=AD-AE=DE,我们假设圆A的一条直径是EH(即延长半径EA交圆A与H得直径EH).这样AD+AB=AD+AH=DH.
所以我们要证明DE×DH=BD×DC,即DE/DC=BD/DH.
观察一下△BDE和△DHC,看看他们的三个角是否相等,或者说他们是否相似.
首先在圆X中可以看到因为AB=AC,所以∠BDE=∠CDH.
在圆A中圆心角∠DAC=2∠DHC,而第一问证明了∠DAC=2∠DBE,所以∠DHC=∠DBE.
这样△BDE和△DHC就相似了.对应边比一下就有DE/DC=BD/DH.证毕.
答: 本题多次用了“同弧所对的圆周角相等”及“外角等于不相邻的内角和”如图: 1. 因为AB=AC=AE , 所以∠AEB=∠ABE,∠ACB=∠ABC.又∠ACB=∠ADB, 所以∠ABC=∠ADB. 因为∠ABE=∠ABC+∠CBE,∠AEB=∠ADB+∠DBE,而∠AEB=∠ABE,∠ACB=∠ADB 所以∠DBE=∠EBC=1/2∠CBD 又∠CBD=∠CAD 所以∠CAD=2∠DBE 2. 延长DA至P使AP=AE,连结PC 因为AP=AE=AC 所以∠P=∠PCA,又∠CAD=∠P+∠PCA 所以∠P=1/2∠CAD,又因为∠CAD=2∠DBE, 所以∠P=∠DBE 又因为AB=AC,所以∠BDA=∠PDC 因为∠P=∠DBE,∠BDA=∠PDC 所以△DBE∽△DPC 所以得DB:DP=DE:DC 即DP*DE=BD*DC 因为DP=DA+AP=DA+AE,DE=AD-AE 所以DP*DE=(AD+AE)*(AD-AE)=AD平方—AE平方=AD平方—AB平方 所以AD平方—AB平方=BD×DC