作业帮基本极限推导求lim（1＋1÷x）的x次方为e的推导.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/11 17:55:22
基本极限推导求lim（1＋1÷x）的x次方为e的推导.
基本极限推导
求lim（1＋1÷x）的x次方为e的推导.
基本极限推导求lim（1＋1÷x）的x次方为e的推导.
证明在：第一章>>第六节>>第二点>>第二页
不会
看一下高等数学，同济5版52~53页吧
下面考虑x取正整数n而趋于+∞的情形。
设xn=(1+1/n)^n,我们来证{xn}单调增加并且有界。按牛顿二项公式，有
xn=(1+1/n)^n
＝1+(n/1!)*(1/n)+n*(n-1)/2!*1/n^2+……+n(n-1)……(n-n+1)/n!*1/n^n
=1+1+1/2!*(1-1/n)+1/3!*(1-1/n)*(1-2/n)+……+1/n!*(1...
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下面考虑x取正整数n而趋于+∞的情形。
设xn=(1+1/n)^n,我们来证{xn}单调增加并且有界。按牛顿二项公式，有
xn=(1+1/n)^n
＝1+(n/1!)*(1/n)+n*(n-1)/2!*1/n^2+……+n(n-1)……(n-n+1)/n!*1/n^n
=1+1+1/2!*(1-1/n)+1/3!*(1-1/n)*(1-2/n)+……+1/n!*(1-1/n)*(1-2/n)……[1-(n-1)/n]
类似地，
xn+1=1+1+1/2!*[1-1/(n+1)]+1/3!*[1-1/(n+1)]*[1-2/(n+1)]+……+1/(n+1)!*[1-1/(n+1)]*[1-2/(n+1)]……[1-n/(n+1)].
比较xn,xn+1地绽开式，可以看到除前两项外，xn地每一项都小于xn+1的对应项，并且xn+1还多了最后一项，其值大于0，因此
xn
设n<=x<(n+1),则
[1+1/(n+1)]^n<(1+1/x^)n<(1+1/n)^(n+1)
且n与x同时趋于+∞。因为
lim[1+1/(n+1)]^n=lim[1+1/(n+1)]^(n+1)/[1+1/(n+1)]=e (n趋于∞)
lim(1+1/n)^(n+1)=lim[(1+1/n)^n*(1+1/n)]=e
应用夹逼定理，既得
lim(1+1/x)^x=e (x趋于+∞)
详细请参阅高等数学（同济第四版）P68-70页
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