求证：cos(α+β)cos(α-β)=cos^2 α-sin^2 β sin(α+β)sin(α-β)=sin^2 α-sin^2 βcos(α+β)cos(α-β)=cos^2 α-sin^2 β和sin(α+β)sin(α-β)=sin^2 α-sin^2 β

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 18:57:54
求证：cos(α+β)cos(α-β)=cos^2 α-sin^2 β sin(α+β)sin(α-β)=sin^2 α-sin^2 βcos(α+β)cos(α-β)=cos^2 α-sin^2 β和sin(α+β)sin(α-β)=sin^2 α-sin^2 β
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求证：cos(α+β)cos(α-β)=cos^2 α-sin^2 β sin(α+β)sin(α-β)=sin^2 α-sin^2 βcos(α+β)cos(α-β)=cos^2 α-sin^2 β和sin(α+β)sin(α-β)=sin^2 α-sin^2 β
求证：cos(α+β)cos(α-β)=cos^2 α-sin^2 β sin(α+β)sin(α-β)=sin^2 α-sin^2 β
cos(α+β)cos(α-β)=cos^2 α-sin^2 β和sin(α+β)sin(α-β)=sin^2 α-sin^2 β

求证：cos(α+β)cos(α-β)=cos^2 α-sin^2 β sin(α+β)sin(α-β)=sin^2 α-sin^2 βcos(α+β)cos(α-β)=cos^2 α-sin^2 β和sin(α+β)sin(α-β)=sin^2 α-sin^2 β
因为 cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
所以 cos[(α+β)+(α-β)] = cos(α+β)cos(α-β) - sin(α+β)sin(α-β)
即 cos(2α) = cos(α+β)cos(α-β) - sin(α+β)sin(α-β) ---------- （1）
同理,因为 cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
可得 cos[(α+β)-(α-β)] = cos(α+β)cos(α-β) + sin(α+β)sin(α-β)
即 cos(2β) = cos(α+β)cos(α-β) + sin(α+β)sin(α-β) ---------- （2）
（1）（2）两式相加,得
cos(2α) + cos(2β) = 2cos(α+β)cos(α-β) ---------- （3）
因为 cos(2α) = cos(α+α) = cos^2(a) - sin^2(a) = cos^2(a) - sin^2(a) + 1 - 1 = 2cos^2(a) - 1
同理 cos(2β) = cos^2(β) - sin^2(β) - 1 + 1 = 1 - 2sin^2(β)
所以（3）式左边变为 2cos^2(a) - 2sin^2(β)
即得 cos(α+β)cos(α-β) = cos^2(α) - sin^2(β)
原题得证.
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第二个等式的证明原理相同,都是先化出（3）式,然后得出最后结果.
（3）式的这个等式就叫做“和差化积”.
除了上面出现的（3）式外,还有
cos(2β) - cos(2α) = 2sin(α+β)sin(α-β) ---------- （4）
sin(2α) + sin(2β) = 2sin(α+β)cos(α-β)
sin(2α) - sin(2β) = 2cos(α+β)sin(α-β)
观察欲证明的第二个等式,可知,需要用到的“和差化积”等式为（4）式.

求证：|cosα+cosβ| 求证cosα^2+cos(α+β)^2-2cosαcosβcos(α+β)=sinβ^2 求证cos（α+β）cos（α-β）=cos²α-sin²β 求证cosα+cosβ=2cosα+β/2sinα-β/2 求证：cos²α+cos²（α+β）-2cosαcosβcos（α+β）=sin²2β 求证：cos²α+cos²（α+β）-2cosαcosβcos（α+β）=sin²β 求证sin(α+β)+2cos(α-β)cosαcosβ=cos2α+cos2β 求证 4cos^2 2α =cos^2 2β已知sin@+cos@=2sinα,sin@cos@=sin^2(β)求证 4cos^2( 2α) =cos^2 (2β) 求证cos（α+β）×cos﹙α-β﹚=cos²α-sin²β 求证:(sinα+sinβ)/(cosα-cosβ)=cot(β-α/2) 求证cos²α+cos²（α+β）-2cosαsinβcos（α+β）=sin²β. 已知:sinα+sinβ+sinγ=0,且cosα+cosβ+cosγ=0求证cos(α-β)=-1/2 已知sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0,求证cos(α+β)=1/2 sinα+sinβ+sinγ=0 cosα+cosβ+cosγ=o 求证 cos(α-γ)=-1/2 已知sinΘ+cosΘ=2sinα,sinΘ*cosΘ=sin²β,求证：4cos²2α=cos²2β 已知sinθ+cosθ=2sinα,sinθ*cosθ=sin²β,求证：4cos²2α=cos²2β 已知:sinα+sinβ+sinγ=0,且cosα+cosβ+cosγ=0求证cos^2 α+cos^2 β+cos^2 γ为定值 求证：cos²α+cos²（α+β﹚－2cosαcosβcos﹙α＋β﹚＝sin²β