n阶导数,

n阶导数,
n阶导数,
 

n阶导数,
根据：莱布尼茨求导法
(UV)的n阶导数 = U'(n) V + U'(n-1) V' + C(n,1) U'(n-2) V'' +C(n,2) .+U V'(n) 
其中 x² = x²,x² ’ = 2x ,x² '' = 2 , x² ''‘=0.
 Ln(1 + x) '(n) = (- 1)^)(n-1) （n-1)!/ (1 + x)^n 
 Ln(1 + x) ' (n-1) = (- 1)^(n-2) (n-2)!/ (1 + x)^(n-1) 
 Ln(1 + x) ' (n-2) = (- 1)^(n-3) *(n-3)!/ (1 + x)^(n-2) --
其实只要计算这个就可以了,因为 x = 0 时,x² ’ = 2x ＝0
最后只剩下x² '' *Ln(1 + x) ' (n-2)这一项
fn(0) = n(n-1)/2 * 2 * (- 1)^(n-3) (n-3)!/ (1 + x)^(n-2) = (- 1)^(n-3) * n(n-1)(n-3)!
= (- 1)^(n-1) * n!/ (n - 2)

f'=2xln(1+x)+x^2/(1+x)
f''=2ln(1+x)+2x/(1+x)+2x/(1+x)-x^2/(1+x)^2
=2ln(1+x)+4x/(1+x)-x^2/(1+x)^2
f'''=2/(1+x)+4/(1+x)-4x/(1+x)^2-2x/(1+x)^2+2x^2/(1+x)^3
=6/(1+x)-6x/(1+x)^2+2x^2/(1+x)^...

全部展开

f'=2xln(1+x)+x^2/(1+x)
f''=2ln(1+x)+2x/(1+x)+2x/(1+x)-x^2/(1+x)^2
=2ln(1+x)+4x/(1+x)-x^2/(1+x)^2
f'''=2/(1+x)+4/(1+x)-4x/(1+x)^2-2x/(1+x)^2+2x^2/(1+x)^3
=6/(1+x)-6x/(1+x)^2+2x^2/(1+x)^3
=[(6+6x)-6x]/(1+x)^2+2x^2/(1+x)^3
=6/(1+x)^2+[2x^2+2x-2x-2+2]/(1+x)^3
=6/(1+x)^2+2(x-1)(x+1)/(1+x)^3+2//(1+x)^3
=2/(1+x)^3+6/(1+x)^2+2(x-1)/(1+x)^2
=2/(1+x)^3+6/(1+x)^2+2(x+1-2)/(1+x)^2
=2/(1+x)^3+6/(1+x)^2+2/(1+x)-4/(1+x)^2
=2/(1+x)^3+2/(1+x)^2+2/(1+x)
=2[(1+x)^(-3)+(1+x)^(-2)+(1+x)^(-1)]
第一项：4阶，(-3)(1+x)^(-4),5阶，(-3)(-4)(1+x)^(-5),...,k阶,(-3)(-4)...(-(k-1))(1+x)^(-k)=(-1)(-2)...(-(k-1))(1+x)^(-k)/(-1)(-2)=[(-1)^(k-1)(k-1)!/2](1+x)^(-k)
第二项：4阶,(-2)(1+x)^(-3),5阶,(-2)(-3)...(1+x)^(-4),...,k阶，(-2)(-3)...(-(k-2))(1+x)^(-(k-1))=(-1)^(k-3)(k-2)!(1+x)^(-(k-1))
第三项：4阶,（-1）(1+x)^(-2),5阶，(-1)(-2)(1+x)^(-3),...,k阶，(-1)(-2)...(-(k-3))(1+x)^(-(k-2))=(-1)^(k-3)(k-3)!(1+x)^(-(k-2))
f(k)=2[[(-1)^(k-1)(k-1)!/2](1+x)^(-k)+(-1)^(k-3)(k-2)!(1+x)^(-(k-1))+(-1)^(k-3)(k-3)!(1+x)^(-(k-2))]
f(n)(0)=2[(-1)^(n-1)(n-1)!/2+(-1)^(n-3)(n-2)!+(-1)^(n-3)(n-3)!]
=2(-1)^(n-3)(n-3)![(n-1)(n-2)/2+(n-2)+1]
=(-1)^(n-3)(n-3)![(n-1)(n-2)+2n-2]
=(-1)^(n-3)(n-3)!(n-1)n=[(-1)^(n-1)]n!/(n-2)

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