作业帮求椭圆周长积分式及解释 谢谢
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 17:42:06
求椭圆周长积分式及解释 谢谢
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利用割圆术原理,推导出此椭圆周长近似公式：
L=(a2-b2)/a*180°/arctg((a-b)/a)
（a＞b,b→a,b≥0 ）
当b→a时,L＝2aπ
当b=0时,L＝4a
周长没有公式表达式
最早由伯努利(那个不计得了)提出,欧拉发展
对这类问题的讨论引出一门数学分支－－椭圆积分(变分法),现在仍然方兴未艾.
以下是几个比较简单得近似公式：
公式一～五为一般精度,满足简单计算需要；
公式六为高精度,满足比较专业一些得计算需要.
这些公式均符合椭圆得基本规律,当a＝b时,l＝2aπ,
希望这些公式能够给中学们带来快乐.
一、
l1=πqn/arctgn
(b→a、q＝a b、n＝((a-b)/a)＾2、)
这是根据圆周长和割圆术原理推导得,精度一般.
二、
l2＝πθ/45°(a-c c/sinθ)
(b→0,c＝√(a＾2-b＾2),θ＝arccos((a-b)/a)＾1.1、)
这是根据两对扇形组成椭圆得特点推导得,精度一般.
三、
l3＝πq(1 mn)
(q＝a b、m＝4/π-1、n＝((a-b)/a)＾3.3 、)
这是根据圆周长公式推导得,精度一般.
四、
l4＝π√(2a＾2 2b＾2)(1 mn)
(q＝a b、m＝2√2/π-1、n＝((a-b)/a)＾2.05、)
这是根据椭圆a＝b时得基本特点推导得,精度一般.
五、
l3＝√(4abπ＾2 15(a-b)＾2)(1 mn)
( m＝4/√15-1 、n＝((a-b)/a)＾9 )
这是根据椭圆a＝b,b＝0时是特点推导得,精度较好.
六、
l4＝πq(1 3h/(10 √(4-3h))(1 mn)
( q＝a b、 h＝((a-b)/(a b))＾2
m＝22/7π-1、m＝((a-b)/a)＾33.697 、)
这是根据椭圆标准公式提炼得,精度很高.
椭圆周长只有积分表达式和级数表达式，没有初等的表达式 积分表达式是C = 4a∫√(1 - (c/a * sint)^2)dt，范围是t从0到pi/2 也可以写成4aE(c/a) ，这里的函数E(x)是第二类完全椭圆积分。 具体的内容参见下图