作业帮|r 1 0|设A=|0 r 1||0 0 r|求A^n 如下：|r 1 0| |0 r 1| |0 0 r| 不好意思，能写的再通俗点吗？
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/12/02 06:46:20
|r 1 0|设A=|0 r 1||0 0 r|求A^n 如下：|r 1 0| |0 r 1| |0 0 r| 不好意思，能写的再通俗点吗？
|r 1 0|
设A=|0 r 1|
|0 0 r|
求A^n
如下：
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|0 r 1|
|0 0 r|
不好意思，能写的再通俗点吗？
|r 1 0|设A=|0 r 1||0 0 r|求A^n 如下：|r 1 0| |0 r 1| |0 0 r| 不好意思，能写的再通俗点吗？
A=rI+N,其中N是幂零方阵,N^3=0
所以将A^n在rI处泰勒展开,A^n=(rI)^n+nr^(n-1)(A-rI)+(n(n-1)/2)r^(n-2)(A-rI)^2,后面的就不要了,因为(A-rI)的高次幂都是0
根据上面的式子得
A^n=
r^n nr^(n-1) (n(n-1)/2)r^(n-2)
0 r^n nr^(n-1)
0 0 r^n
方法1：
计算几个观察规律，写出通项，数学归纳法证明之。
方法2：
求解矩阵A的特征值和特征向量，将其写成
A = T * D * T的逆 的形式，其中D是对角矩阵。
则A^n = T * D^n * T的逆
矩阵A不能相似于一个对角阵,A是所谓Jordan型矩阵,故2楼的方法2行不通,解决该问题方法很多,1楼给了一种很好的方法,楼主如没有懂,我试图用另一种方式给你解释一下,将A写成两个矩阵之和,一个是对角线元均是r的对角阵,另一个是除次对线是1外其它元均为零的矩阵U,第1个矩阵是rI:
r 0 0
0 r 0
0 0 r
第2个矩阵是U:
0 1 0 ...
全部展开
矩阵A不能相似于一个对角阵,A是所谓Jordan型矩阵,故2楼的方法2行不通,解决该问题方法很多,1楼给了一种很好的方法,楼主如没有懂,我试图用另一种方式给你解释一下,将A写成两个矩阵之和,一个是对角线元均是r的对角阵,另一个是除次对线是1外其它元均为零的矩阵U,第1个矩阵是rI:
r 0 0
0 r 0
0 0 r
第2个矩阵是U:
0 1 0
0 0 1
0 0 0
A=rI+U,可以验证U这个矩阵满足U^3=O,称为幂零矩阵.故对任意k≥3,U^k=O.
A^n=(rI+U)^n,利用2项式展开,具有同一个矩阵的多项式与普通代数多项式有类似性质,因此2项式展开式仍成立,
A^n=(rI+U)^n=(rI)^n+C(n,1)(rI)^(n-1)U+C(n,2)(rI)^(n-2)U^2+...
其中C(n,1),C(n,2)是组合数.
由于k≥3,U^k=O,故从第4项起均化为零,故得
A^n=(rI+U)^n=r^nI+C(n,1)r^(n-1)U+C(n,2)r^(n-2)U^2
将右边3个矩阵加起来即可.
除这种方法外还可用矩阵函数的方法,不过要用到一些预备知识.
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如果是行列式的话：
A= r^3;
A^n=A^（3*n）。
如果是矩阵的话：
A^2=[r^2, 2r, 1;
0, r^2, 2r;
0, 0, r^2]
A^3=[r^3, 3r^2, 3r;
0, r^3, 3r^2;
0, 0, r^3 ]
全部展开
如果是行列式的话：
A= r^3;
A^n=A^（3*n）。
如果是矩阵的话：
A^2=[r^2, 2r, 1;
0, r^2, 2r;
0, 0, r^2]
A^3=[r^3, 3r^2, 3r;
0, r^3, 3r^2;
0, 0, r^3 ]
... ...
观察，得：
A^n=[r^n, n*r^(n-1), (n*(n-1)*r^(n-2))/2；
0， r^n, n*r^(n-1);
0, 0, r^3 ]
使用数学归纳法便可以证明以上的结果是正确的 。
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