作业帮【数学】△的内心、外心、重心的性质是什么?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/27 19:36:56
【数学】△的内心、外心、重心的性质是什么?
【数学】△的内心、外心、重心的性质是什么?
【数学】△的内心、外心、重心的性质是什么?
三角形内心的性质 设⊿ABC的内切圆为☉O(半径r),角A、B、C的对边分别为a、b、c,p=(a+b+c)/2.
1、三角形的三条角平分线交于一点,该点即为三角形的内心.
2、三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径r.
3、r=S/p.
证明：S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=(cr+br+ar)/2=rp,即得结论.
△ABC中,∠C=90°,r=(a+b-c)/2.
5、∠BOC=90°+A/2.
6、点O是平面ABC上任意一点,点O是⊿ABC内心的充要条件是：
a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0.
7、点O是平面ABC上任意一点,点I是⊿ABC内心的充要条件是：
向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c).
8、⊿ABC中,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),那么⊿ABC内心I的坐标是：
(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c),ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c).
9、(欧拉定理)⊿ABC中,R和r分别为外接圆为和内切圆的半径,O和I分别为其外心和内心,则OI^2=R^2-2Rr.
10、（内角平分线分三边长度关系）
角平分线分对边与该角的两边成比例.
证明：△ABC中,AD是∠A的角平分线,D在BC上,abc是角的对边ABC,d=AD.由于正弦定理b/sinB=c/sinC d=R1sinB=R2sinC,R1是△ABD的外接圆半径,R2是△ACD的外接圆半径,所以R1/R2=sinC/sinB=c/b.又BD=R1sinBAD,CD=R2sinCAD,∠CAD=∠BAD,所以BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC
三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点到三角形三顶点的距离相等.
重心的几条性质：
1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.
4.在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3
5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分.
证明：刚才证明三线交一时已证.
6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点.