请问拓扑是什么?和平行空间有关吗?我不需要很详细的解释,只要能得到一个大概的概念就好了.不好意思,橡皮泥的几何学是什么啊?

请问拓扑是什么?和平行空间有关吗?我不需要很详细的解释,只要能得到一个大概的概念就好了.不好意思,橡皮泥的几何学是什么啊?
请问拓扑是什么?和平行空间有关吗?
我不需要很详细的解释,只要能得到一个大概的概念就好了.
不好意思,橡皮泥的几何学是什么啊?

请问拓扑是什么?和平行空间有关吗?我不需要很详细的解释,只要能得到一个大概的概念就好了.不好意思,橡皮泥的几何学是什么啊?
拓扑学的英文名是Topology,直译是地志学,也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科.我国早期曾经翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”,但是,这几种译名都不大好理解,1956年统一的《数学名词》把它确定为拓扑学,这是按音译过来的.
拓扑学是几何学的一个分支,但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同.通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质.拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关.
举例来说,在通常的平面几何里,把平面上的一个图形搬到另一个图形上,如果完全重合,那么这两个图形叫做全等形.但是,在拓扑学里所研究的图形,在运动中无论它的大小或者形状都发生变化.在拓扑学里没有不能弯曲的元素,每一个图形的大小、形状都可以改变.例如,前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候,他画的图形就不考虑它的大小、形状,仅考虑点和线的个数.这些就是拓扑学思考问题的出发点.
拓扑性质有那些呢?首先我们介绍拓扑等价,这是比较容易理解的一个拓扑性质.
在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念,但是讨论拓扑等价的概念.比如,尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同,在拓扑变换下,它们都是等价图形.左图的三样东西就是拓扑等价的,换句话讲,就是从拓扑学的角度看,它们是完全一样的.
在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来,这样球面就被这些线分成许多块.在拓扑变换下,点、线、块的数目仍和原来的数目一样,这就是拓扑等价.一般地说,对于任意形状的闭曲面,只要不把曲面撕裂或割破,他的变换就是拓扑变幻,就存在拓扑等价.
应该指出,环面不具有这个性质.比如像左图那样,把环面切开,它不至于分成许多块,只是变成一个弯曲的圆桶形,对于这种情况,我们就说球面不能拓扑的变成环面.所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面.
直线上的点和线的结合关系、顺序关系,在拓扑变换下不变,这是拓扑性质.在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质.
我们通常讲的平面、曲面通常有两个面,就像一张纸有两个面一样.但德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面.这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面.
拓扑变换的不变性、不变量还有很多,这里不在介绍.
拓扑学建立后,由于其它数学学科的发展需要,它也得到了迅速的发展.特别是黎曼创立黎曼几何以后,他把拓扑学概念作为分析函数论的基础,更加促进了拓扑学的进展.
二十世纪以来,集合论被引进了拓扑学,为拓扑学开拓了新的面貌.拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念.拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述.
因为大量自然现象具有连续性,所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性.通过拓扑学的研究,可以阐明空间的集合结构,从而掌握空间之间的函数关系.本世纪三十年代以后,数学家对拓扑学的研究更加深入,提出了许多全新的概念.比如,一致性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等.有一门数学分支叫做微分几何,是用微分工具来研究取线、曲面等在一点附近的弯曲情况,而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况,因此,这两门学科应该存在某种本质的联系.1945年,美籍中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系,并推进了整体几何学的发展.
拓扑学发展到今天,在理论上已经十分明显分成了两个分支.一个分支是偏重于用分析的方法来研究的,叫做点集拓扑学,或者叫做分析拓扑学.另一个分支是偏重于用代数方法来研究的,叫做代数拓扑.现在,这两个分支又有统一的趋势.
拓扑学起初叫形势分析学,这是G．W．莱布尼茨1679年提出的名词.拓扑学这个词(中文是音译)是J．B．利斯廷1847年提出的,源自希腊文位置、形势与学问.
1851年起,B．黎曼在复变函数的研究中提出,为了研究函数、研究积分,就必须研究形势分析学.从此开始了拓扑学的系统研究.
组合拓扑学的奠基人是H．庞加莱.他是在分析学和力学的工作中,特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中,引向拓扑学问题.他探讨了三维流形的拓扑分类问题,提出了著名的庞加莱猜想.
拓扑学的另一渊源是分析学的严密化.实数的严格定义推动了G．康托尔从1873年起系统地展开了欧氏空间中的点集的研究,得出许多拓扑概念.如：聚点、开集、连通性等.在点集论的思想影响下,分析学中出现了泛函数(即函数的函数)的概念.把函数集看成一种几何对象并讨论其中的极限,这终于导致了抽象空间的观念.
拓扑问题的一些初等例子：
柯尼斯堡七桥问题(一笔划问题).一个散步者怎样才能走遍七座桥而每座桥只经过一次?这个18世纪的智力游戏,被L．欧拉简化为用细线画出的网络能否一笔划出的问题,然后他证明了这是根本办不到的.一个网络能否被一笔画出,与线条的长短曲直无关,只决定于其中的点与线的连接方式.设想一个网络是用柔软而有弹性的材料制作的,在它被弯曲、拉伸后,能否一笔画出的性质是不会改变的.
欧拉的多面体公式与曲面的分类.欧拉发现,不论什么形状的凸多面体,其顶点数 、棱数 、面数 之间总有 这个关系.由此可证明正多面体只有五种.如果多面体不是凸的而呈框形（图33）,则不管框的形状如何,总有 .这说明,凸形与框形之间有比长短曲直更本质的差别,通俗地说,框形里有个洞.
在连续变形下,凸体的表面可以变成球面,框的表面可以变成环面（轮胎面）.这两者都不能通过连续变形互变（图34）.在连续变形下封门曲面有多少种不同类型?怎样鉴别他们?这曾是19世纪后半叶拓扑学研究的主要问题.
纽结问题.空间中一条自身不相交的封闭曲线,会发生打结现象.要问一个结能否解开（即能否变形成平放的圆圈）,或者问两个结能否互变（如图35中两个三叶结能否互变）.同时给出严格证明,那远不是件容易的事了.
布线问题（嵌入问题）.一个复杂的网络能否布在平面上而又不自相交叉?做印制电路时自然会碰到这个问题.图36左面的图,把一条对角线移到方形外面就可以布在平面上.但图37中两个图却无论怎样移动都不能布在平面上.1930年K•库拉托夫斯基证明,一个网络是否能嵌入平面,就看其中是否不含有这两个图之一.
以上这些例子说明,几何图形还有一些不能用传统的几何方法来研究的性质.这些性质与长度、角度无关,它们所表现的是图形整体结构方面的特征.这种性质就是图形的所谓拓扑性质.