问道竞赛的数列题请具体点

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/16 18:56:14
问道竞赛的数列题请具体点
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问道竞赛的数列题请具体点
问道竞赛的数列题
请具体点

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以下一律用_表示下标,^表示上标（指数）,当上标或下标不止一个字母时用{ }括起来.
由递推式中含有√(2-a_n^2)容易想到利用三角代换,那么可设a_n=√2cosθ.
而根据三角代换的对称性,不妨设点P_n的坐标为(x_n,y_n)=(√2cosθ_n,√2sinθ_n).容易看出,P_0=(√2/2,√6/2),此时θ_0=π/3.
于是,将x_n,y_n代入递推公式：
x_{n+1}=[(x_n+2-y_n)/2]^0.5,
y_{n+1}=[(y_n+2-x_n)/2]^0.5（由x^2+y^2=2推出）.
这个式子很对称,很优美,很鼓舞人心.
继续.
将x_n和y_n的表达式代入：
x_n-y_n=√2cosθ_n-√2sinθ_n=2cos(θ_n+π/4),
y_n-x_n=-2cos(θ_n+π/4).
于是,
x_{n+1}
=√[(x_n+2-y_n)/2]
=√[1+(x_n-y_n)/2]
=√[1+cos(θ_n+π/4)]
=√2cos(θ_n/2+π/8).
y_{n+1}
=√[(y_n+2-x_n)/2]
=√[1-(x_n-y_n)/2]
=√[1-cos(θ_n+π/4)]
=√2sin(θ_n/2+π/8).
好,这样就完成了递推.
由此容易推出,θ_n=θ_0/2^n+(2^n-1)π/2^{n+2}.
再将θ_0=π/3代入,就可以求得a_n的通项公式：
a_n=x_n=√2cos[π/(3*2^n)+(2^n-1)π/2^{n+2}].
或者将角度合并,变成√2cos tπ,其中t=(3*2^n+1)/(3*2^{n+2}).

用三角换元，令a_n=2^{1/2}cost_n,再用三角公式化简，懒得写了

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