一道简单的不等式题数列an是均为正项的等比数列,且q不等于1 ,则a1+a4和a2+a3的关系 答案是a1+a4大于a2+a3
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/17 10:53:07
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一道简单的不等式题数列an是均为正项的等比数列,且q不等于1 ,则a1+a4和a2+a3的关系 答案是a1+a4大于a2+a3
一道简单的不等式题
数列an是均为正项的等比数列,且q不等于1 ,则a1+a4和a2+a3的关系
答案是a1+a4大于a2+a3
一道简单的不等式题数列an是均为正项的等比数列,且q不等于1 ,则a1+a4和a2+a3的关系 答案是a1+a4大于a2+a3
根据等比数列的定义可得
a2=a*q;a3=a*q*q;a4=a*q*q*q
于是(a1+a4)-(a2+a3)=(a+a*q*q*q)-(a*q+a*q*q)
=a*[(1+q*q*q)-(q-q*q)]
=a*[(1-q*q)-(q-q*q*q)]
=a*(1-q)*(1-q*q)
由于数列an是均为正项的等比数列,所以an与q均大于0
当q大于零,且不等于1时,(1-q)*(1-q*q)必定大于0
所以a1+a4大于a2+a3
a(n)=aq^(n-1), a>0,q>0,q不等于1 .
a(1)+a(4)-a(2)+a(3)=a+aq^3-aq-aq^2=a[q^3-q^2-q+1]=a[q^2(q-1)-(q-1)]=a(q-1)[q^2-1]=a(q+1)(q-1)^2>0.
(a1+a4)-(a2+a3)=a1(q^3-q^2-q+1)=a1(q+1)(q-1)^2
因为an>0所以a1和q均大于0,即(a1+a4)-(a2+a3)>0,证毕
a1+a4=a1+a1q^3
a2+a3=a1q+a1q^2
(a1+a4)-(a2+a3)=(a1+a1q^3)-(a1q+a1q^2)=a1(1+q^3-q-q^2)=a1(q-1)(q^2-1)=a1(q-1)^2(q+1)>0
所以a1+a4>a2+a3