(一道初中数学题)如图,○O的半径OA⊥OB,点P在OB延长线上,连AP交○O于Q,过Q的直线CD交OP于C,如图,⊙O的半径OA⊥OB,点P在OB延长线上,连AP交⊙O于Q,过Q的直线CD交OP于C,若PC=CQ,求证:CD是⊙O的切线.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/03 23:54:40
![(一道初中数学题)如图,○O的半径OA⊥OB,点P在OB延长线上,连AP交○O于Q,过Q的直线CD交OP于C,如图,⊙O的半径OA⊥OB,点P在OB延长线上,连AP交⊙O于Q,过Q的直线CD交OP于C,若PC=CQ,求证:CD是⊙O的切线.](/uploads/image/z/11688065-17-5.jpg?t=%EF%BC%88%E4%B8%80%E9%81%93%E5%88%9D%E4%B8%AD%E6%95%B0%E5%AD%A6%E9%A2%98%EF%BC%89%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E2%97%8BO%E7%9A%84%E5%8D%8A%E5%BE%84OA%E2%8A%A5OB%2C%E7%82%B9P%E5%9C%A8OB%E5%BB%B6%E9%95%BF%E7%BA%BF%E4%B8%8A%2C%E8%BF%9EAP%E4%BA%A4%E2%97%8BO%E4%BA%8EQ%2C%E8%BF%87Q%E7%9A%84%E7%9B%B4%E7%BA%BFCD%E4%BA%A4OP%E4%BA%8EC%2C%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E2%8A%99O%E7%9A%84%E5%8D%8A%E5%BE%84OA%E2%8A%A5OB%2C%E7%82%B9P%E5%9C%A8OB%E5%BB%B6%E9%95%BF%E7%BA%BF%E4%B8%8A%2C%E8%BF%9EAP%E4%BA%A4%E2%8A%99O%E4%BA%8EQ%2C%E8%BF%87Q%E7%9A%84%E7%9B%B4%E7%BA%BFCD%E4%BA%A4OP%E4%BA%8EC%2C%E8%8B%A5PC%EF%BC%9DCQ%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9ACD%E6%98%AF%E2%8A%99O%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BF.)
(一道初中数学题)如图,○O的半径OA⊥OB,点P在OB延长线上,连AP交○O于Q,过Q的直线CD交OP于C,如图,⊙O的半径OA⊥OB,点P在OB延长线上,连AP交⊙O于Q,过Q的直线CD交OP于C,若PC=CQ,求证:CD是⊙O的切线.
(一道初中数学题)如图,○O的半径OA⊥OB,点P在OB延长线上,连AP交○O于Q,过Q的直线CD交OP于C,
如图,⊙O的半径OA⊥OB,点P在OB延长线上,连AP交⊙O于Q,过Q的直线CD交OP于C,若PC=CQ,
求证:CD是⊙O的切线.
(一道初中数学题)如图,○O的半径OA⊥OB,点P在OB延长线上,连AP交○O于Q,过Q的直线CD交OP于C,如图,⊙O的半径OA⊥OB,点P在OB延长线上,连AP交⊙O于Q,过Q的直线CD交OP于C,若PC=CQ,求证:CD是⊙O的切线.
证明:如图,连接OQ
∵CP=CQ
∴∠P=∠CQP
∵∠CQP与∠AQD是对顶角
∴∠CQP=∠AQD
即∠P=∠AQD
∵OA⊥OB
∴∠AOB=90°
在Rt△POA中
∠P+∠A=90°
∵OQ=OA
∴∠A=∠OQA
则∠AQD+∠OQA=90°
即∠OQD=90°
∵OQ是半径,点Q是⊙O上一点
∴CD是⊙O的切线.
连接OQ三角形OAQ为等边三角形 每个角60度,所以角BOQ为30度 角p也是30度, 又因为PC=CQ,所以角CQP也是30度,角OCQ为三角形PCQ的外角,所以为60度,则,角BQO为90度,又OQ为圆的半径,所以为圆的切线。
因为OA垂直于OP PC=CQ 角OPA加上角OAP等于90度 角OPA等于角CQP 所以角CQP加上角OAP等于90度 又因为OB等于QA 所以角OAP等于角OBA 即角CQP加上角OBA等于90度 结果角CQO等于90度 所以CQ垂直OQ 所以CD是其切线
连接OQ,角BPQ=角BQP,角OQA=角OAQ,且BPQ+OAQ=90度,所以PQC+OQA=90,也就是OQC=180-90=90,OQ垂直与CD Q在圆上 所以CD是切线
1> 因为:CQ=CP, 有:角P=角CQP 又因为:角CQP=AQD 所以:角P=角AQD
2> 连接OQ 因为:OQ=OA 所以:角OQA=角OAQ
3> 因为:角P加角OAQ等于90° 所以有:角AQD加角OQA等于90°
4> 所以OQ垂直CD 即:CD是⊙O的切线
连接OQ ,∵CP=CQ ∴ ∠CPQ=∠CQP ①
∵∠OPA+∠OAP=90° ∠PQC=∠AQD ∴∠AQD+∠OAP=90° ②
又∵OQ=OA ∴∠OQA=∠OAQ
∴∠AQD+∠OQA=90° ∴ OQ⊥CD
∴CD是圆O的切线。