∑（1/n-ln(1+1/n)）n∈【1,+∞）,收敛还是发散

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/10/19 15:03:47
∑（1/n-ln(1+1/n)）n∈【1,+∞）,收敛还是发散
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∑（1/n-ln(1+1/n)）n∈【1,+∞）,收敛还是发散
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∑（1/n-ln(1+1/n)）n∈【1,+∞）,收敛还是发散
据幂级数展开公式
ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...+(-1)^(n-1)x^n/n
x∈(-1,1)
x=1/n
显然,1/n>ln(1+1/n)
1/n-ln(1+1/n)>0,且
1/n-ln(1+1/n)=1/n-1/n+(1/n)^2/2-((1/n)^3/3+(1/n)^4/4-...
所以,
[1/n-ln(1/n)]/(1/n)^2=1/2-(1/n)/3+(1/n)^2/4-...
n→+∞,[1/n-ln(1+1/n)]/(1/n)^2→1/2≠0
收敛

答：
原式
=1/1+1/2+1/3+...+1/n-(ln(1+1/1)+ln(1+1/2)+...+ln(1+1/n))
当n趋向正无穷时，1/1+1/2+...+1/n=lnn
=lnn-(ln(2/1)+ln(3/2)+...+ln((n+1)/n))
=lnn-(ln((2/1)*(3/2)*(4/3)...*(n+1)/n))
=lnn-ln(n+1)
=ln(n/(n+1))
递增且有界，无限趋近于ln1=0
所以原级数收敛。

数那么小，感觉是收敛的。

证明ln(n+1/n) ln(n+1)/ln(n)=? 1/n>ln((n+1)/n)为什么? 为什么 [ln(n)]'/n'=1/n ∑ln(n/n+1)收敛性 ∑1/(ln n)^n敛散性 ln(1+1/n) ln(1+1/n) ln(1+1/n) 证明ln(n+1) 证明ln(n+1) ln(1+n) ln(n+1) ln(2n+1) ln(n+1)怎么等于lnn+ln[(n+1)/n] ∑(-1)^n*n/ln(n+1)敛散性 ∑（1/n-ln(1+1/n)）n∈【1,+∞）,收敛还是发散 ln(n+2)除以ln(n+1)是否等于ln(n+2-n-1)