交错级数的一道题目,书上的答案总觉得有问题,书上是条件收敛

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/08 20:19:02
交错级数的一道题目,书上的答案总觉得有问题,书上是条件收敛
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交错级数的一道题目,书上的答案总觉得有问题,书上是条件收敛
交错级数的一道题目,书上的答案总觉得有问题,
书上是条件收敛

交错级数的一道题目,书上的答案总觉得有问题,书上是条件收敛
首先问一下书上的答案是什么?
令a取一个特殊的值,比如1.事实上,由于n＜√（n²+1）＜n+1,所以当n为奇数时,记n=2k-1,k∈N+,则（2k-1）π＜√（n²+1）×π＜2kπ,在区间（（2k-1）π,2kπ）上,sinx＜0,所以sin（√（n²+1）×π）＜0；当n为偶数时,记n=2k,k∈N+,则2kπ＜√（n²+1）×π＜（2k+1）π,在区间（2kπ,2（k+1）π）上,sinx＞0,所以sin（√（n²+1）×π）＞0.故级数∑sin（√（n²+1）×π）为交错级数；因为0≤|sin（√（n²+1）×π）-0|=|sin（√（n²+1）×π）-sinnπ|=2|cos（√（n²+1）+n）π/2）sin（√（n²+1）-n）π/2）|≤2|sin（√（n²+1）-n）π/2|≤（√（n²+1）-n）π=π/（√（n²+1）+n））,而lim0=0,limπ/（√（n²+1）+n））=0（n→∞）,所以lim（n→∞）sin（√（n²+1）×π）=0；所以只要能证明|sin（√（n²+1）×π）|＞|sin（√（（n+1）²+1）×π）|,即可由莱布尼兹判别法证明级数∑sin（√（n²+1）×π）收敛.下面证明这一点.|sin（√（n²+1）×π）|=|sin（（√（n²+1）+1）π）|,由于对任意正整数n,恒有n＜√（n²+1）＜n+1/2,所以（n+1）π＜√（（n+1）²+1）×π＜（n+1）π+π/2,（n+1）π＜（√（n²+1）+1）×π＜（n+1）π+π/2.当n为奇数时,记n=2k-1,k∈N+,则有2kπ＜√（（n+1）²+1）×π＜2kπ+π/2,2kπ＜（√（n²+1）+1）×π＜2kπ+π/2,在区间（2kπ,2kπ+π/2）上,sinx＞0且单调递增,又因为（√（（n+1）²+1））×π＜（√（n²+1）+1）×π,所以0＜sin（（√（（n+1）²+1））×π）＜sin（（√（n²+1）+1）×π）,即|sin（（√（（n+1）²+1））×π）|＜|sin（（√（n²+1）+1）×π）|,所以|sin（（√（（n+1）²+1））×π）|＜|sin（（√（n²+1）×π）|；用类似的方法,可证明当n为偶数时,同样有|sin（（√（（n+1）²+1））×π）|＜|sin（（√（n²+1）×π）|.从而由莱布尼兹判别法,原级数收敛.至于是否是绝对收敛,还需进一步证明.
对于一般情形,取正整数N=[a²-1/4],则当n＞N时,有n＜√（n²+a²）＜n+1/2,去掉级数∑sin（√（n²+a²）×π）的前N项,得到一个新级数.由上面的证明,新级数是收敛的,从而原级数也是收敛的.

如图

令a取一个特殊的值，比如1。事实上，由于n＜√（n²+1）＜n+1，所以当n为奇数时，记n=2k-1，k∈N+，则（2k-1）π＜√（n²+1）×π＜2kπ，在区间（（2k-1）π，2kπ）上，sinx＜0，所以sin（√（n²+1）×π）＜0；当n为偶数时，记n=2k，k∈N+，则2kπ＜√（n²+1）×π＜（2k+1）π，在区间（2kπ，2（k+1）π）...

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令a取一个特殊的值，比如1。事实上，由于n＜√（n²+1）＜n+1，所以当n为奇数时，记n=2k-1，k∈N+，则（2k-1）π＜√（n²+1）×π＜2kπ，在区间（（2k-1）π，2kπ）上，sinx＜0，所以sin（√（n²+1）×π）＜0；当n为偶数时，记n=2k，k∈N+，则2kπ＜√（n²+1）×π＜（2k+1）π，在区间（2kπ，2（k+1）π）上，sinx＞0，所以sin（√（n²+1）×π）＞0。故级数∑sin（√（n²+1）×π）为交错级数；因为0≤|sin（√（n²+1）×π）-0|=|sin（√（n²+1）×π）-sinnπ|=2|cos（√（n²+1）+n）π/2）sin（√（n²+1）-n）π/2）|≤2|sin（√（n²+1）-n）π/2|≤（√（n²+1）-n）π=π/（√（n²+1）+n）），而lim0=0，limπ/（√（n²+1）+n））=0（n→∞），所以lim（n→∞）sin（√（n²+1）×π）=0；所以只要能证明|sin（√（n²+1）×π）|＞|sin（√（（n+1）²+1）×π）|，即可由莱布尼兹判别法证明级数∑sin（√（n²+1）×π）收敛。下面证明这一点。|sin（√（n²+1）×π）|=|sin（（√（n²+1）+1）π）|，由于对任意正整数n，恒有n＜√（n²+1）＜n+1/2，所以（n+1）π＜√（（n+1）²+1）×π＜（n+1）π+π/2，（n+1）π＜（√（n²+1）+1）×π＜（n+1）π+π/2。当n为奇数时，记n=2k-1，k∈N+，则有2kπ＜√（（n+1）²+1）×π＜2kπ+π/2，2kπ＜（√（n²+1）+1）×π＜2kπ+π/2，在区间（2kπ，2kπ+π/2）上，sinx＞0且单调递增，又因为（√（（n+1）²+1））×π＜（√（n²+1）+1）×π，所以0＜sin（（√（（n+1）²+1））×π）＜sin（（√（n²+1）+1）×π），即|sin（（√（（n+1）²+1））×π）|＜|sin（（√（n²+1）+1）×π）|，所以|sin（（√（（n+1）²+1））×π）|＜|sin（（√（n²+1）×π）|；用类似的方法，可证明当n为偶数时，同样有|sin（（√（（n+1）²+1））×π）|＜|sin（（√（n²+1）×π）|。

收起

交错级数的一道题目,书上的答案总觉得有问题,书上是条件收敛 一道级数的题目 做到一道题目,是交错级数的,我用莱布尼茨做是收敛的,再取绝对值发现又是绝对收敛的,答案写的是绝对收敛,我想问,我写收敛是错的吗,绝对收敛必收敛,那收敛的级数是否绝对收敛? 交错级数敛散性的证明 交错级数级数lnn /n 的敛散性? 一般的交错级数有收敛半径吗 交错级数收敛的判别法有哪些? 总结一下无穷级数的审敛法正项级数和交错级数. 判定下列交错级数的收敛性 调和级数和交错级数的定义是什么 交错级数是不是都是收敛的? 有关地理的一道题目什么是农牧业交错带? 一道高数无穷级数的题目, 求解一道关于无穷级数的题目 高数无穷级数中的交错级数收敛第一个条件是多余的交错级数收敛有两个条件,一是Un≥Un+1,二是limUn=0,我觉得第一个条件是多余的,因为满足第二个自然就满足第一个.谁能解释为什么要有第一 高数无穷级数中的交错级数收敛第一个条件是多余的交错级数收敛有两个条件,一是Un≥Un+1,二是limUn=0,我觉得第一个条件是多余的,因为满足第二个自然就满足第一个.谁能解释为什么要有第一 判断这个交错级数.我觉得发散 高等数学中,级数审敛法. 莱布尼茨交错项级数,是不是仅仅只能用于交错项,对于一般的正项级数.