已知:在△ABC中,∠ACB=90°,点P是线段AC上一点,过点A作AB的垂线,交BP的延长线于点M,MN⊥AC于点N,PQ⊥AB于点Q,AQ=MN.NP=2,PC=3.(1)求证PC=AN(2)求BC的长(3)在直线BM上有一动点G,当CG+QG最短时,求BG
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/05 16:06:48
已知:在△ABC中,∠ACB=90°,点P是线段AC上一点,过点A作AB的垂线,交BP的延长线于点M,MN⊥AC于点N,PQ⊥AB于点Q,AQ=MN.NP=2,PC=3.(1)求证PC=AN(2)求BC的长(3)在直线BM上有一动点G,当CG+QG最短时,求BG
已知:在△ABC中,∠ACB=90°,点P是线段AC上一点,过点A作AB的垂线,交BP的延长线于点M,MN⊥AC于点N,PQ⊥AB于点Q,AQ=MN.NP=2,PC=3.
(1)求证PC=AN
(2)求BC的长
(3)在直线BM上有一动点G,当CG+QG最短时,求BG长度.
已知:在△ABC中,∠ACB=90°,点P是线段AC上一点,过点A作AB的垂线,交BP的延长线于点M,MN⊥AC于点N,PQ⊥AB于点Q,AQ=MN.NP=2,PC=3.(1)求证PC=AN(2)求BC的长(3)在直线BM上有一动点G,当CG+QG最短时,求BG
(1)证法一:
如图①,∵BA⊥AM,MN⊥AP,∴∠BAM=ANM=90°
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°
∴∠PAQ=∠AMN
∵PQ⊥AB MN⊥AC,∴∠PQA=∠ANM=90°
∴AQ=MN,∴△AQP≌△MNA
∵AN=PQ AM=AP,∴∠AMB=∠APM
∵∠APM=∠BPC∠BPC+∠PBC=90°,∠AMB+∠ABM=90°
∴∠ABM=∠PBC
∵PQ⊥AB,PC⊥BC
∴PQ=PC(角平分线的性质),
∴PC=AN;
证法二:
如图①,∵BA⊥AM,MN⊥AC,∴∠BAM=ANM=90°
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°
∴∠PAQ=∠AMN
∵PQ⊥AB,∴∠APQ=90°=∠ANM
∴AQ=MN,∴△PQA≌△ANM
∴AP=AM,PQ=AN,∴∠APM=∠AMP
∵∠AQP+∠BAM=180°,∴PQ∥MA
∴∠QPB=∠AMP
∴∠APM=∠BPC,∴∠QPB=∠BPC
∴∠BQP=∠BCP=90°,BP=BP
∴△BPQ≌△BCP
∴PQ=PC,
∴PC=AN.
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