若一实系数多项式的根全为实根,则他的各阶导数的根全为实根,求证明

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/27 11:36:16
若一实系数多项式的根全为实根,则他的各阶导数的根全为实根,求证明
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若一实系数多项式的根全为实根,则他的各阶导数的根全为实根,求证明
若一实系数多项式的根全为实根,则他的各阶导数的根全为实根,求证明

若一实系数多项式的根全为实根,则他的各阶导数的根全为实根,求证明
n次实系数多项式f(x)的根全为实数,则可以表示成f(x)=a(x-x(1))(x-x(2))...(x-x(n)),a≠0,则
f'(x)=a(x-x(2))(x-x(3))...(x-x(n)) + a(x-x(1))(x-x(3))(x-x(4))...(x-x(n)) + ...+ a(x-x(1))...(x-x(n-1)),
不妨设x(1) < x(2) < x(3) < ...< x(n),先不考虑重根的情况,容易验证
f'(x(1))f'(x(2)) < 0,f'(x(2))f'(x(3)) < 0,...,f'(x(n-1))f'(x(n)) < 0,
所以f'(x)在(x(1),x(2)),(x(2),x(3)),...,(x(n-1),x(n))这n-1个区间内各有一个根,所以f'(x)的根全为实数.
如果f(x)有重根,则可设x(1) ≤ x(2) ≤ x(3) ≤...≤ x(n),若x(k)

证明有限

若一实系数多项式的根全为实根,则他的各阶导数的根全为实根,求证明 多项式的根如果a是实系数多项式f(x)的复根,则a的共轭数[a]也是f(x)的根,因此奇数次实数系数多项式一定有实根.求具体证明过程! 为什么整系数多项式方程的实根必为整根或无理根?（要求证明）若是二次的呢？ [高等代数问题] 设实系数多项式f(x)的首项系数为1且无实根设实系数多项式f(x)的首项系数为1且无实根,求证：存在实系数多项式f(x),h(x),使得f(x)=g(x)^2+h(x)^2,且g(x)的次数大于h(x)的次数 一个只含字母m的二次三项式,他的二次项系数,一次项系数均为2,常数项为-1,则这个多项式为 P(x)是最高项系数为1的多项式,M是它的最大实根,求证：P'（M）≥0rt 请问：三次的实系数多项式一定有实根.( ) 映射f :A→B有逆映射的充要条件为f是单射.( ) 多项式系数为分数时,如何确定公因式的系数 整系数多项式的有理根 求系数和各多项式的次数 一个只含字母x的二次二项式,他的二次项系数为-1,一次项系数为-2/1,常数项为-3,这个多项式为( 判别此多项式是否有三个不同的实根实系数多项式f(x)=x3+ax2+bx+c满足b＜0,ab=9c．试判别此多项式是否有三个不同的实根 什么是系数,次数,多项式的次数,系数 设Pn(x)为最高项系数为1的n(n>=1)次多项式,M为Pn(x)=0的最大实根,求证Pn(M)的导数大于等于0 多项式1、当a,b满足条件______时,多项式f(x)=x^3+3ax+b才能有重因式.2、以（根2+根3）为根的次数最小的,且最高次项系数是1的有力系数多项式为______.3、已知实系数多项式x^3+px+q有一个虚根3+2i,则 多项式的系数如何计算? 单项式和多项式的系数 谁知道多项式的系数是什么