高数问题求教若函数z=(x,y)在Dxy上具有一阶连续偏导数,则此时该函数所表示的有向曲面的法向量n=(-Zx,-Zy,1),请问这是怎么推导来的?我想理解性地记忆.谢谢.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/19 00:48:32
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高数问题求教若函数z=(x,y)在Dxy上具有一阶连续偏导数,则此时该函数所表示的有向曲面的法向量n=(-Zx,-Zy,1),请问这是怎么推导来的?我想理解性地记忆.谢谢.
高数问题求教
若函数z=(x,y)在Dxy上具有一阶连续偏导数,则此时该函数所表示的有向曲面的法向量n=(-Zx,-Zy,1),请问这是怎么推导来的?我想理解性地记忆.谢谢.
高数问题求教若函数z=(x,y)在Dxy上具有一阶连续偏导数,则此时该函数所表示的有向曲面的法向量n=(-Zx,-Zy,1),请问这是怎么推导来的?我想理解性地记忆.谢谢.
首先,空间曲面的方程的一般形式为z(x,y,z)=0.任取曲面上一点(x,y,z),过该点有包含在曲面内的无数条连续曲线,曲线参数方程的三个坐标分量具有导数.将上述曲线的参数方程带入曲面方程得z(f(t),g(t),h(t))=0.假定三元函数z(x,y,z)在点(x,y,z)某邻域内具有一阶连续偏导数,在上述等式两端对t求全导数得Zx*df(t)+Zydg(t)+Zzdh(x)=0(df(x)表示导函数,不是微分).由该式可得,过该点包含在曲面内的无数条连续曲线在点(x,y,z)处的切向量与向量(Zx,Zy,Zz)垂直,故(Zx,Zy,Zz)为曲面在点(x,y,z)处的法向量.然后我们再将
z=z(x,y)改写为z(x,y)-z=0.我们可以把它看成z(x,y,z)=0.又因为z=(x,y)在Dxy内具有一阶连续偏导数,故z(x,y)-z对变元x,y,z同样具有一阶连续偏导数.按上述讨论得法向量(Zx,Zy,-1),在该向量前去负号得与z轴夹角为锐角的共线法向量n=(-Zx,-Zy,1).