设a,b,c均是不等于1的正数,且a^x=b^y=c^z,(1/x)+(1/y)+(1/z)=0,求abc的值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/20 15:21:37
设a,b,c均是不等于1的正数,且a^x=b^y=c^z,(1/x)+(1/y)+(1/z)=0,求abc的值.
设a,b,c均是不等于1的正数,且a^x=b^y=c^z,(1/x)+(1/y)+(1/z)=0,求abc的值.
设a,b,c均是不等于1的正数,且a^x=b^y=c^z,(1/x)+(1/y)+(1/z)=0,求abc的值.
设a^x=b^y=c^z=k(k<>1),则algx=ylgb=zlgc=lgk<>0
--->x=lgk/lga,y=lgk/lgb,z=lgk/lgc
--->1/x+1/y+1/z
=lga/lgk+lgb/lgk+lgc/lgk
=(lga+lgb+lgc)/lgk
=lg(abc)/lgk
已知1/x+1/y+1/z=0,所以lg(abc)=0--->abc=1.
令a^x=b^y=c^z=k
则等号两边取对数
x=lnk/lna
y=lnk/lnb
z=lnk/lnc
从而有:(1/x)+(1/y)+(1/z)=(lna/lnk)+(lnb/lnk)+(lna/lnk)
=(lna+lnb+lnc)/lnk
全部展开
令a^x=b^y=c^z=k
则等号两边取对数
x=lnk/lna
y=lnk/lnb
z=lnk/lnc
从而有:(1/x)+(1/y)+(1/z)=(lna/lnk)+(lnb/lnk)+(lna/lnk)
=(lna+lnb+lnc)/lnk
=(lnabc)/lnk
=0
所以有:abc=1
收起
1
设a^x=b^y=c^z=k
1/x+1/y+1/z=logka+logkb+logkc=logk(abc)=0
abc=1