已知α和β都是锐角,且sinα=13分之5,cos(α+β)=-5分之4,则sinβ的值是?为什么用两角差的余弦算cosβ是负数呢

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/18 17:00:49
已知α和β都是锐角,且sinα=13分之5,cos(α+β)=-5分之4,则sinβ的值是?为什么用两角差的余弦算cosβ是负数呢
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已知α和β都是锐角,且sinα=13分之5,cos(α+β)=-5分之4,则sinβ的值是?为什么用两角差的余弦算cosβ是负数呢
已知α和β都是锐角,且sinα=13分之5,cos(α+β)=-5分之4,则sinβ的值是?为什么用两角差的余弦算cosβ是负数呢

已知α和β都是锐角,且sinα=13分之5,cos(α+β)=-5分之4,则sinβ的值是?为什么用两角差的余弦算cosβ是负数呢
α和β都是锐角

sinα=5/13,则cosα=12/13
cos(α+β)=-4/5,则sin(α+β)=3/5
于是
cosβ=cos(α+β-α)
=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
=-4/5×12/13+3/5×5/13
=-33/65


计算的确为负数
这是因为题目规定β是锐角有误(或者后面的数据有误)

其实β不是钝角,推导如下:
sinα=5/13<1/2=sin30º,则α<30º
cos(α+β)=-4/5<-√2/2=cos135º
α+β>135º
而α<30º
∴β>105º即β一定是钝角

sinα=5/13
cosα=12/13
cos(α+β)=-4/5
sin(α+β)=3/5(90°<(α+β)<180°)
cosαcosβ-sinαsinβ=-4/5=12/13cosβ-5/13sinβ
sinαcosβ+cosαsinβ=3/5=5/13cosβ+12/13sinβ
解得sinβ=56/65
cosβ=-33/65