作业帮已知a+b+c=6,a^2+b^2+c^2=12,那么a^2012-b^2012-c^2012的值=
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/20 07:30:09
已知a+b+c=6,a^2+b^2+c^2=12,那么a^2012-b^2012-c^2012的值=
已知a+b+c=6,a^2+b^2+c^2=12,那么a^2012-b^2012-c^2012的值=
已知a+b+c=6,a^2+b^2+c^2=12,那么a^2012-b^2012-c^2012的值=
a+b+c=6
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ac)=12+2(ab+bc+ac)=36
得到ab+bc+ac=12
所以a²+b²+c²-(ab+bc+ac)=0
两边乘以2
2(a²+b²+c²)-2(ab+bc+ac)=0
(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(a²-2ac+c²)=0
(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=0
得到a-b=0,b-c=0,a-c=0
所以a=b,b=c,a=c,即a=b=c=2
a^2012-b^2012-c^2012
=-2^2012
-2^2012.证明：a^2+b^2≥2ab，b^2+c^2≥2bc,c^2+a^2≥2ac,三式相加通分。a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac
又a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2=36.故a^2+b^2+c^2≥12，当且仅当a=b=c=2才取等号。
∴a=b=c=2，原式=-2^2012
a+b+c=6, （1）
a^2+b^2+c^2=12, （2）
由（1）平方得
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc2ca=36 （3）
（2）*3-3得
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0
（a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
得a=b=c
由（1）得
a=b=c=2
那么a^2012-b^2012-c^2012的值=-2^2012