已知函数f(x)=ax^3+bx在点x=-根号3/3处取得极小值-2根号3/9.求函数f(x)解析式 当x∈闭区间-1,1闭区间时已知函数f(x)=ax^3+bx在点x=-根号3/3处取得极小值-2根号3/9.求函数f(x)解析式当x∈闭区间-1,1闭区间
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 13:38:51
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已知函数f(x)=ax^3+bx在点x=-根号3/3处取得极小值-2根号3/9.求函数f(x)解析式 当x∈闭区间-1,1闭区间时已知函数f(x)=ax^3+bx在点x=-根号3/3处取得极小值-2根号3/9.求函数f(x)解析式当x∈闭区间-1,1闭区间
已知函数f(x)=ax^3+bx在点x=-根号3/3处取得极小值-2根号3/9.求函数f(x)解析式 当x∈闭区间-1,1闭区间时
已知函数f(x)=ax^3+bx在点x=-根号3/3处取得极小值-2根号3/9.
求函数f(x)解析式
当x∈闭区间-1,1闭区间时,求函数f(x)的单调区间以及最大值
已知函数f(x)=ax^3+bx在点x=-根号3/3处取得极小值-2根号3/9.求函数f(x)解析式 当x∈闭区间-1,1闭区间时已知函数f(x)=ax^3+bx在点x=-根号3/3处取得极小值-2根号3/9.求函数f(x)解析式当x∈闭区间-1,1闭区间
第一个问题:
∵f(x)=ax^3+bx,∴f′(x)=3ax^2+b.
∵当x=-√3/3时,f(x)有极小值为-2√3/9, ∴f′(-√3/3)=0、 f(-√3/3)=-2√3/9.
∴3×(-√3/3)^2a+b=0、 (-√3/3)^3a+(-√3/3)b=-2√3/9,
∴a+b=0、 -(√3/9)a-(√3/3)b=-2√3/9, ∴3a+3b=0、 a+3b=2,
∴a=-1、 b=1.
∴函数的解析式是:f(x)=-x^3+x.
第二个问题:
∵f(x)=-x^3+x, ∴f′(x)=-3x^2+1.
令f′(x)=-3x^2+1>0,得:3x^2<1, ∴-√3/3<x<√3/3.
∴函数的增区间是(-√3/3,√3/3),减区间是(-1,-√3/3)∪(√3/3,1).
第三个问题:
显然有:f″(x)=-6x.
令f′(x)=-3x^2+1=0,得:|x|=√3/3.
∴当x=√3/3时,f(x)有极大值,且极大值=-(√3/3)^3+√3/3=-√3/9+√3/3=2√3/9.
又函数的增区间是(-√3/3,√3/3),减区间是(-1,-√3/3)∪(√3/3,1).
∴函数的最大值只能在x=√3/3、x=-1中取得. 而f(-1)=-1×(-1)+(-1)=0.
∴在区间[-1,1]上,函数的最大值为 2√3/9.
对原函数求导,得 f'(x)=3ax²+b
由于有极小值 f(-√3/3)=-2√3/9,则 f'(-√3/3)=0
代入原函数与导数,得
a×(-√3/9)+b×(-√3/3)=-2√3/9
3a×(1/3)+b=0
解得
a=-1,b=1
所以 f(x)=-x³+x;
当 x∈[-1,1] 时,
由前述...
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对原函数求导,得 f'(x)=3ax²+b
由于有极小值 f(-√3/3)=-2√3/9,则 f'(-√3/3)=0
代入原函数与导数,得
a×(-√3/9)+b×(-√3/3)=-2√3/9
3a×(1/3)+b=0
解得
a=-1,b=1
所以 f(x)=-x³+x;
当 x∈[-1,1] 时,
由前述可知,f'(x)=-3x²+1
其极值点满足 f'(x)=0,即 x=±√3/3∈[-1,1]
所以,可求得函数 f(x) 在 [-1,-√3/3] 递减,
在 [-√3/3,√3/3] 递增,
在 [√3/3,1] 递减,
即其增区间为 [-√3/3,√3/3] ,
减区间为 [-1,-√3/3] 和 [√3/3,1],
根据增减性,其最大值只可能在 x=-1 或 x=√3/3 处取得,
而 f(-1)=-2,f(√3/3)=0,
可见,最大值为 f(√3/3)=0。
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