已知椭圆的焦点在坐标轴上,直线l:y=-x+1经过椭圆的右焦点且与椭圆相交于A,B两点线段AB的中点为M,直线l与OM所夹得锐角大小为arctan3,求椭圆方程
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/26 23:32:22
![已知椭圆的焦点在坐标轴上,直线l:y=-x+1经过椭圆的右焦点且与椭圆相交于A,B两点线段AB的中点为M,直线l与OM所夹得锐角大小为arctan3,求椭圆方程](/uploads/image/z/13179777-33-7.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%A4%AD%E5%9C%86%E7%9A%84%E7%84%A6%E7%82%B9%E5%9C%A8%E5%9D%90%E6%A0%87%E8%BD%B4%E4%B8%8A%2C%E7%9B%B4%E7%BA%BFl%3Ay%3D-x%2B1%E7%BB%8F%E8%BF%87%E6%A4%AD%E5%9C%86%E7%9A%84%E5%8F%B3%E7%84%A6%E7%82%B9%E4%B8%94%E4%B8%8E%E6%A4%AD%E5%9C%86%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E4%BA%8EA%2CB%E4%B8%A4%E7%82%B9%E7%BA%BF%E6%AE%B5AB%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%E4%B8%BAM%2C%E7%9B%B4%E7%BA%BFl%E4%B8%8EOM%E6%89%80%E5%A4%B9%E5%BE%97%E9%94%90%E8%A7%92%E5%A4%A7%E5%B0%8F%E4%B8%BAarctan3%2C%E6%B1%82%E6%A4%AD%E5%9C%86%E6%96%B9%E7%A8%8B)
已知椭圆的焦点在坐标轴上,直线l:y=-x+1经过椭圆的右焦点且与椭圆相交于A,B两点线段AB的中点为M,直线l与OM所夹得锐角大小为arctan3,求椭圆方程
已知椭圆的焦点在坐标轴上,直线l:y=-x+1经过椭圆的右焦点且与椭圆相交于A,B两点
线段AB的中点为M,直线l与OM所夹得锐角大小为arctan3,求椭圆方程
已知椭圆的焦点在坐标轴上,直线l:y=-x+1经过椭圆的右焦点且与椭圆相交于A,B两点线段AB的中点为M,直线l与OM所夹得锐角大小为arctan3,求椭圆方程
由题意可知椭圆的焦点在x轴上,
因为直线l:y=-x+1经过椭圆的右焦点
所以令y=0,代入直线方程y=-x+1得:x=1
即椭圆的右焦点坐标为(1,0),则c=1
又设直线l:y=-x+1的倾斜角为α,直线l与OM所夹得锐角为β
则直线OM的倾斜角为α-(π-β)=α+β-π (画草图辅助判断所得)
且易知tanα=-1,β=arctan3即tanβ=3
所以tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα*tanβ)=1/2
则直线OM的斜率k(OM)=tan(α+β-π)=tan(α+β)=1/2
又直线OM过原点,则直线OM的方程可写为:y=(1/2)*x
联立直线l与直线OM方程:
y=-x+1,y=(1/2)*x
易解得x=2/3,y=1/3
即两直线交点M的坐标为(2/3,1/3)
又设椭圆方程为mx² +ny²=1 (n>m>0)
且设直线l与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)
则有:mx1² +ny1²=1,mx2² +ny2²=1
两式相减可得:
m(x1+x2)(x1-x2) +n(y1+y2)(y1-y2)=0 (×)
因为点M是线段AB中点,所以由中点公式可得:
x1+x2=4/3,y1+y2=2/3
则(×)式可化为:
m*(4/3)*(x1-x2)+n*(2/3)*(y1-y2)=0
即2m*(x1-x2)=-n*(y1-y2)
所以斜率k(l)=(y1-y2)/(x1-x2)=-2m/n=-1
即得2m=n
又a²=1/m,b²=1/n且c²=a²-b²=1
则1/m -1/n=1
1/m -1/(2m)=1
即1/(2m)=1
解得m=1/2,n=2m=1
所以椭圆方程为:
x²/2 +y²=1