求最速降线的不同解法

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/24 12:58:59
求最速降线的不同解法
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求最速降线的不同解法
求最速降线的不同解法

求最速降线的不同解法
意大利科学家伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题——“一个质点在重力作用下,从一个给定点到不在它垂直下方的另一点,如果不计摩擦力,问沿着什么曲线滑下所需时间最短.”.他说这曲线是圆,可是这是一个错误的答案.
瑞士数学家约翰．伯努利在1696年再提出这个最速降线的问题（problem of brachistochrone）,次年已有多位数学家得到正确答案,其中包括牛顿、莱布尼兹、洛必达和伯努利家族的成员.这问题的正确答案是连接两个点上凹的唯一一段旋轮线.
旋轮线与1673年荷兰科学家惠更斯讨论的摆线相同.因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等,所以摆线（旋轮线）又称等时曲线.
看一个稍微有点振奋人心的东东,Johann Bernoulli 对最速降线问题的beautiful解答:
如果使分成的层数n无限地增加,即每层的厚度无限地变薄,则质点的运动便趋于空间A、B两点间质点运动的真实情况,此时折线也就无限增多,其形状就趋近我们所要求的曲线——最速降线．而折线的每一段趋向于曲线的切线,因而得出最速降线的一个重要性质：任意一点上切线和铅直线所成的角度的正弦与该点落下的高度的平方根的比是常数．而具有这种性质的曲线就是摆线．所谓摆线,它是一个圆沿着一条直线滚动(无滑动)时,圆周上任意一点的轨
因此,最速降线就是摆线,只不过在最速降线问题中,这条摆线是上、下颠倒过来的罢了．
以上便是Johann Bernoulli当时所给最速降线问题的解答．当然,这个解答在理论上并不算十分严谨的．但是,这个解答所蕴含的基本观点的发展,导致了一门新的学科——变分学．最速降线问题的最终而完备的解答,需要用到变分学的知识．

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