如图所示,设M是三角形ABC的重心,过M的直线分别交边AB、AC于P、Q两垫,且AP/PB=mAQ/QC=n则1/m+1/n=?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/30 15:16:25
![如图所示,设M是三角形ABC的重心,过M的直线分别交边AB、AC于P、Q两垫,且AP/PB=mAQ/QC=n则1/m+1/n=?](/uploads/image/z/13418670-30-0.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%E6%89%80%E7%A4%BA%2C%E8%AE%BEM%E6%98%AF%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E7%9A%84%E9%87%8D%E5%BF%83%2C%E8%BF%87M%E7%9A%84%E7%9B%B4%E7%BA%BF%E5%88%86%E5%88%AB%E4%BA%A4%E8%BE%B9AB%E3%80%81AC%E4%BA%8EP%E3%80%81Q%E4%B8%A4%E5%9E%AB%2C%E4%B8%94AP%2FPB%3DmAQ%2FQC%3Dn%E5%88%991%2Fm%2B1%2Fn%3D%3F)
如图所示,设M是三角形ABC的重心,过M的直线分别交边AB、AC于P、Q两垫,且AP/PB=mAQ/QC=n则1/m+1/n=?
如图所示,设M是三角形ABC的重心,过M的直线分别交边AB、AC于P、Q两垫,且AP/PB=mAQ/QC=n则1/m+1/n=?
如图所示,设M是三角形ABC的重心,过M的直线分别交边AB、AC于P、Q两垫,且AP/PB=mAQ/QC=n则1/m+1/n=?
设三角形A点坐标(x1,y1),B点坐标(x2,y2),C点坐标(x3,y3)
以三角形重心为原点建立直角坐标系,则M点坐标是(0,0)
根据题意可设过M点的一条直线为x轴.
根据重心公式可得
x1+x2+x3=0
y1+y2+y3=0
∵P在x轴上
∴P点纵坐标是0
AB所在直线的斜率是k1=(y1-y2)/(x1-x2)
根据直线的点斜式方程可得AB所在直线的方程是 y-y1={(y1-y2)/(x1-x2)}/(x-x1)
整理得
x=(y1*x2-y2*x1)/(y1-y2)
∵P在AB上
∴P点的横坐标是x=(y1*x2-y2*x1)/(y1-y2)
AP=根号{y1²+(x1-(y1*x2-y2*x1)/(y1-y2))²}
整理得AB=y1/(y1-y2)根号{(y1-y2)²+(x1-x2)²}
∵AB=根号{(y1-y2)²+(x1-x2)²}
∴PB=AB-AP=-y2/(y1-y2)根号{(y1-y2)²+(x1-x2)²}
∴1/m=PB/AP=-y2/y1
同理可得1/n=-y3/y1
∴1/m+1/n=-(y2+y3)/y1
∵y1+y2+y3=0
∴y1=-(y2+y3)
∴1/m+1/n=1
分别过点B,C作BE∥AD,CF∥AD,交PQ于点E,F,则ME=MF,
则根据梯形的中位线定理得:
∵MD是梯形的中位线,
∴BE+CF=2MD,
∴1m+1n=PBAP+
CQAQ=BEAM+CFAM=BE+CFAM=2MDAM=1.
分别过点B,C作BE∥AD,CF∥AD,交PQ于点E,F,则ME=MF,
则根据梯形的中位线定理得:
∵MD是梯形的中位线,
∴BE+CF=2MD,
接着相似一下,再相加很快就可以得出结论了,记住要用到重心定理AM=2DM