E为正方形ABCD的BC边上的一点,CG平分角DCF,连接AE并在CG上取一点G,使EG=AE,求证:AE垂直于EG
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/13 23:42:05
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E为正方形ABCD的BC边上的一点,CG平分角DCF,连接AE并在CG上取一点G,使EG=AE,求证:AE垂直于EG
E为正方形ABCD的BC边上的一点,CG平分角DCF,连接AE并在CG上取一点G,使EG=AE,求证:AE垂直于EG
E为正方形ABCD的BC边上的一点,CG平分角DCF,连接AE并在CG上取一点G,使EG=AE,求证:AE垂直于EG
证明:过点G作GH垂直BF交BF于点H.
设正方形的边长为a,BE为b,CH=GH=x,则EC为(a-b).
因为AE=EG
所以AB平方+BE平方=EH平方+GH平方即
a^2+b^2=(a-b+x)^2+x^2
a^2+b^2-x^2=(a-b)^2+x^2+2x(a-b)
a^2+b^2-x^2=a^2+b^2-2ab+x^2+2ax-2bx
2x^2+2ax-2bx-2ab=0
x^2+ax-bx-ab=0
x(x-b)+a(x-b)=0
(x-b)(x+a)=0
因为x+a不等于0所以x=b即GH=BE
所以三角形ABE全等于三角形EHG(HL)
所以角AEB=角EGH
角EGH+角GEH=90度
所以角AEB+角GEH=90度
所以角AEG=90度
即AE垂直于EG.
参考:
证明:
在CF上取点H,使CH=BE,则EH=EC+CH=EC+BE=BC=AB
作HG'⊥CF,交角DCF的平分线于G',则HG'=CH=BE
连EG'
则:△ABE≌△EHG'
所以,AE=EG'
且:∠BAE=∠HEG'
而:∠BAE+∠AEB=90
所以,∠HEG'+∠AEB=90
所以,∠AEG'=180-(∠HEG'+∠AEB)=180-90=90
即:AE垂直EG'
又题目条件知:AE垂直EG
所以,G、G'是同一点
所以:AE=EG