对于定义域为[0,1]的函数f(x),如果同时满足一下三条:1.对任意的x∈[0,1],总有f(x)>=0;2.f(1)=1;3.若x1>=0,x2>=0,x1+x2=f(x1)+(x2)成立,则称函数f(x)为理想函数.(1)若函数f(x)为理想函
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/08 14:24:57
对于定义域为[0,1]的函数f(x),如果同时满足一下三条:1.对任意的x∈[0,1],总有f(x)>=0;2.f(1)=1;3.若x1>=0,x2>=0,x1+x2=f(x1)+(x2)成立,则称函数f(x)为理想函数.(1)若函数f(x)为理想函
对于定义域为[0,1]的函数f(x),如果同时满足一下三条:1.对任意的x∈[0,1],总有f(x)>=0;2.f(1)=1;3.若x1>=0,x2>=0,x1+x2=f(x1)+(x2)成立,则称函数f(x)为理想函数.
(1)若函数f(x)为理想函数,求f(0)的值
(2)判断函数g(x)=2^x-1(x∈[0,1])是否为理想函数,并予以证明.
(3)若函数f(x)为理想函数,假定x0∈[0,1],使得f(x0)∈[0,1],且f(f(x0))=x0,求证f(x0)=x0
对于定义域为[0,1]的函数f(x),如果同时满足一下三条:1.对任意的x∈[0,1],总有f(x)>=0;2.f(1)=1;3.若x1>=0,x2>=0,x1+x2=f(x1)+(x2)成立,则称函数f(x)为理想函数.(1)若函数f(x)为理想函
(1) 取x1=x2=0,得f(0)>=f(0)+f(0) ==>f(0)=0,故f(0)=0
(2)对g(x),g(1/2)=1/4-1=f[f(x0)]+f(x1)=x0+f(x1)>=x0
此时f(x0)>=x0矛盾!
(b) f(x0)>x0,设f(x0)=x0+x1(x1>0)
则x0=f[f(x0)]=f(x0+x1)>=f(x0)+f(x1)>=f(x0)
则x0>=f(x0)矛盾!
故假设不成立
(1)令x1=x2=0,则有f(0)≥f(0)+f(0),即f(0)≤0,
又对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0,即f(0)≥0,故f(0)=0;
(2)g(x)是理想函数!证明如下:
①对任意的x∈[0,1],总有g(x)≥0;
②g(1)=2-1=1;
③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则:
f(x1+x2)-[f(x1)+f(x2)...
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(1)令x1=x2=0,则有f(0)≥f(0)+f(0),即f(0)≤0,
又对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0,即f(0)≥0,故f(0)=0;
(2)g(x)是理想函数!证明如下:
①对任意的x∈[0,1],总有g(x)≥0;
②g(1)=2-1=1;
③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则:
f(x1+x2)-[f(x1)+f(x2)]=(2^x1-1)(2^x2-1)≥0,即:
f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立
故g(x)为理想函数!
(3)若f为理想函数,由原条件①③得到:f为增函数!
假设f(x0)≠x0,不妨设f(x0)>x0,则:
f(f(x0))>f(x0)>x0,矛盾!
当f(x0)>x0时,同样得出矛盾!
故:对题设的x0,有f(x0)=x0
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