作业帮在等腰三角形ABC中,已知AB=AC=3,cos∠B=三分之一,D为AB上一点,过点D作DE垂直于AB交BC边于点E,过点E做EF垂直于BC交AC边与点F.（1）当BD长为何值时,以点F为圆心,线段FA为半径的圆与BC边相切?（2）过点
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/21 18:44:34
在等腰三角形ABC中,已知AB=AC=3,cos∠B=三分之一,D为AB上一点,过点D作DE垂直于AB交BC边于点E,过点E做EF垂直于BC交AC边与点F.（1）当BD长为何值时,以点F为圆心,线段FA为半径的圆与BC边相切?（2）过点
在等腰三角形ABC中,已知AB=AC=3,cos∠B=三分之一,D为AB上一点,过点D作DE垂直于AB交BC边于点E,过点E做EF垂直于BC交AC边与点F.
（1）当BD长为何值时,以点F为圆心,线段FA为半径的圆与BC边相切?
（2）过点F做FG垂直于AC,与线段DE交于点G,设BD的长为X,三角形EFG的面积为Y,求Y关于x的函数解析式及其定义域
在等腰三角形ABC中,已知AB=AC=3,cos∠B=三分之一,D为AB上一点,过点D作DE垂直于AB交BC边于点E,过点E做EF垂直于BC交AC边与点F.（1）当BD长为何值时,以点F为圆心,线段FA为半径的圆与BC边相切?（2）过点
（1）如图（1）
∵以点F为圆心,线段FA为半径的圆与BC边相切
∴AF=EF
∵FC²=EC²+EF²
∴FC²=EC²+AF² (1)
∵AC=3
∴AF=AC-FC=3-FC (2)
∵∠B=∠C(等腰三角形,底角相等)
∴cos∠C=cos∠B=1/3
∵∠FEC=90°
∴EC=FC/3 (3)
将(2)、(3)均代入(1)中可得：
FC²=(FC/3)²+(3-FC)²
FC²=FC²(1/9)+ (3-FC)²
(8/9)FC²=(3-FC)²
两边同时除以FC²(FC≠0)
8/9=(3/FC-1)² (4)
∵FC<3
∴3/FC>1
∴3/FC-1>0
将(4)两边同时开方可得
∴3/FC-1=(2/3)√2
∴3/FC=(2√2+3)/3
∴FC=9/(3+2√2)=9(3-2√2)
∴EC=FC/3=3(3-2√2)
∵AB=AC=3 cos∠B=1/3
∴BC/2=AB×cos∠B=3*(1/3)=1
∴BC=2
∴BE=2-EC=2-3(3-2√2)=2-9+6√2)= 6√2-7
∵cos∠B=1/3
∴BD=BEcos∠B
=(1/3)[ 6√2-7]
=2√2-7/3
所以当BD=2√2-7/3时,以点F为圆心,线段FA为半径的圆与BC边相切
（2）如图（2）
∵x=BD
∴BE=x/cos∠B= x/(1/3)=3x
FC=EC/cos∠C= EC/cos∠B=3EC
EF²=FC²-EC²
=(3EC)²-EC²
=8EC²
=8(2-BE)²
=8(2-3x)² (2>3x)
∵∠GEC=∠B+∠BDE
∴∠GEF+90°=∠B+90°
∴∠GEF=∠B
同理可以得∠GFE=∠C
∵∠B=∠C
∴∠GEF=∠GFE
△EFG为等腰三角形
∵cos∠B=1/3
∴sin∠B=√[(3²-1²)/3²]=(1/3)√[(3²-1²)=(1/3)√8
∴tan∠B=√8=2√2
△EFG的底为EF,
设高为h,
则h=(EF/2)*tan∠GEF=(EF/2)*2√2=EF√2
△EFG的面积为Y
Y=EF*h/2=EF²√2/2
=8(2-3x)²√2/2=4√2 (3x-2)²
三角形的面积解析式为
Y=4√2 (3x-2)²
定义域：
2>3x
∴x＜2/3
同时如图(2)-1,x应不小于一个值,只有不小于这个值才能使过F垂直于AC的垂线与线段DE相交于G点,否则不能与DE相交,不能形成三角形△ EFG,由图形可以知,这个值就是当G点与D点重合之时x的取值,此时DG⊥AC于F.
DE=DF=xtan∠B=2√2x
BE=3x
EC=2-3x
EF=2√2(2-3x)
DE=(3/2)EF
2√2x=(3/2)EF=(3/2)2√2(2-3x)= 3√2(2-3x)=6√2-9√2x
11√2x=6√2
x=6/11
所以x≥6/11
因此定义域为6/11≤x＜2/3
（1）BD=2根号2减去7/3
(2)y=4根号2(3x-2)平方，(6/11
如图，过点A 做AM⊥BC于点M， 设ME长为x， 根据三角形相似，可得 BD/CE=BE/CF， CE/CM=CF/CA=EF/AM， 代入数据，可得EF=2√2 - 2√2x ，CF= 3-3x， 线段FA为半径的圆与BC边相切即EF=AF， 依题意，得 2√2 - 2√2 x + 3 -3x=3， 解得 x=2√2 / (3+2√2)， ∵BD/CE=BE/CF， ∴有BD / （1-x） = （1+x） / 3（1-x）， ∴BD=（1+x）/ 3， 把x= x=2√2 / (3+2√2)代入， 得BD=（3+4√2） / (9+6√2） 当BD=（3+4√2） / (9+6√2）时，以点F为圆心，线段FA为半径的圆与BC边相切. ｛我真的不想写具体过程了，但我也不能肯定我的答案就一定是对的，如果你觉得还行的话，就给分吧~~~第二小题，明天下午会联系你的……） PS：｛有看不懂的问我。。。）
1.依题意：∠B=∠C，BE=3BD,CF=3CE,BC=2*AB*cos∠B=2 以点F为圆心，线段FA为半径的圆与BC边相切即：AF=EF AF=3-CF=3-3CE ① EF=√(CF^2-CE^2)=√(9CE^2-CE^2)=√8CE ② ①②互代：CE=3/(3+√8) BD=1/3BE=1/3（BC-CE）=1/3[2-3/(3+√8)]=（3+4√2） / (9+6√2） 即：当BD=（3+4√2） / (9+6√2）时，以点F为圆心，线段FA为半径的圆与BC边相切. 2.如图，三角形EFG的面积 Y=1/2（EF*GH） Y=1/2（EF*√2EF) ……（直角△GHE中,GH=√8EH） Y=√2/2EF^2 Y=4√2EC^2 ……（直角△FEC中,EF=√8EC） Y=4√2(2-BE)^2 ……（BC=2） Y=4√2(2-3X)^2 ……（BE=3BD） Y=36√2X^2-48√2X+16√2 上式即为所求解析式 求定义域，显然，当G点与D点重合时，是x最小值，即： EF=2/3DE=2/3√8x EC=BC-BE=2-3x EF=√8EC 2/3√8x=√8(2-3X) 2/3x=2-3x x=6/11 当E点与C点重合时，是X最大值，即 x<2/3 所以所求函数的定义域为：6/11<x<2/3
1.依题意：∠B=∠C，BE=3BD,CF=3CE,BC=2*AB*cos∠B=2
以点F为圆心，线段FA为半径的圆与BC边相切即：AF=EF
AF=3-CF=3-3CE。。。。。。 ①
EF=√(CF^2-CE^2)=√(9CE^2-CE^2)=√8CE。。。。。。 ②
①②互代：CE=3/(3+√8)
BD=1/3BE=1/3（BC-CE）=1/3[2-...
全部展开
1.依题意：∠B=∠C，BE=3BD,CF=3CE,BC=2*AB*cos∠B=2
以点F为圆心，线段FA为半径的圆与BC边相切即：AF=EF
AF=3-CF=3-3CE。。。。。。 ①
EF=√(CF^2-CE^2)=√(9CE^2-CE^2)=√8CE。。。。。。 ②
①②互代：CE=3/(3+√8)
BD=1/3BE=1/3（BC-CE）=1/3[2-3/(3+√8)]=（3+4√2） / (9+6√2）
即：当BD=（3+4√2） / (9+6√2）时，以点F为圆心，线段FA为半径的圆与BC边相切.
2.如图，三角形EFG的面积
Y=1/2（EF*GH）
Y=1/2（EF*√2EF) ……（直角△GHE中,GH=√8EH）
Y=√2/2EF^2
Y=4√2EC^2 ……（直角△FEC中,EF=√8EC）
Y=4√2(2-BE)^2 ……（BC=2）
Y=4√2(2-3X)^2 ……（BE=3BD）
Y=36√2X^2-48√2X+16√2
求定义域，显然，当G点与D点重合时，是x最小值，即：
EF=2/3DE=2/3√8x
EC=BC-BE=2-3x
EF=√8EC
2/3√8x=√8(2-3X)
2/3x=2-3x
x=6/11
当E点与C点重合时，是X最大值，即x<2/3
那么所求函数的定义域为：6/11
收起