已知函数f(x)=2分之1cos的平方x加2分之根号3sinxcosx加1,X属于R .求在[π/12,π/4]上的最大最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/20 20:23:24
已知函数f(x)=2分之1cos的平方x加2分之根号3sinxcosx加1,X属于R .求在[π/12,π/4]上的最大最小值
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已知函数f(x)=2分之1cos的平方x加2分之根号3sinxcosx加1,X属于R .求在[π/12,π/4]上的最大最小值
已知函数f(x)=2分之1cos的平方x加2分之根号3sinxcosx加1,X属于R .求在[π/12,π/4]上的最大最小值

已知函数f(x)=2分之1cos的平方x加2分之根号3sinxcosx加1,X属于R .求在[π/12,π/4]上的最大最小值
由cos²x/2=(1+cos2x)/2(倍角公式)
2sinxcosx=sin2x,
∴f(x)=cos²x/2+√3sinxcosx/2+1
=(1+cos2x)/4+√3sin2x/4+1
=(1/2)(1/2×cos2x+(√3/2)×sin2x)+5/4
=(1/2)(sin30°cos2x+cos3°sin2x)+5/4
=(1/2)sin(2x+30°)+5/4,
∵正弦函数在[π/12,π/4]上是增函数,
∴最大值fmax(π/4)=(1/2)sin(π/4+π/6)+5/4
=(1/2)sin(π/3)+5/4
=(√3+5)/4.
最小值fmin(π/12)=(1/2)sin(π/12+π/6)+5/4
=(1/2)sin(π/4)+5/4
=(√2+5)/4.

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