已知数列{an}中,a1+a2+a3+……+an=3^n-2^n/2^n(n=1,2,……)求证{an}是等
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 03:40:16
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已知数列{an}中,a1+a2+a3+……+an=3^n-2^n/2^n(n=1,2,……)求证{an}是等
已知数列{an}中,a1+a2+a3+……+an=3^n-2^n/2^n(n=1,2,……)求证{an}是等
已知数列{an}中,a1+a2+a3+……+an=3^n-2^n/2^n(n=1,2,……)求证{an}是等
a1+a2+a3+……+an=3^n-2^n/2^n
Sn=[(3/2)^n]-1
S(n-1)=[(3/2)^n-1]-1 相减
an=(3/2)^n-[(3/2)^n-1]=1/2*(3/2)^(n-1)
{an}是等比数列
S(n) = a(1)+a(2)+a(3)+……+a(n) = (3^n - 2^n) / 2^n = (3/2)^n - 1
那么:
a(n) = S(n) - S(n-1)
= [(3/2)^n - 1] - [(3/2)^(n-1) - 1]
= (3/2)×(3/2)^(n-1) - (3/2)^(n-1)
= (1/2)×(3/2)^(n-1)
全部展开
S(n) = a(1)+a(2)+a(3)+……+a(n) = (3^n - 2^n) / 2^n = (3/2)^n - 1
那么:
a(n) = S(n) - S(n-1)
= [(3/2)^n - 1] - [(3/2)^(n-1) - 1]
= (3/2)×(3/2)^(n-1) - (3/2)^(n-1)
= (1/2)×(3/2)^(n-1)
a(1) = (1/2)×(3/2)^(1-1) = 1/2
a(n) / a(n-1)
= [(1/2)×(3/2)^(n-1)] / [(1/2)×(3/2)^(n-2)]
= 3/2
所以数列{a(n)}是一个首项为1/2,公比为3/2的等比数列。
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