注是北师版的,其中下册也学了几章,除了要题目最好要详解.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/15 10:47:45
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在平面直角坐标系中,点B在直线y=-2x上,过点B作x轴的垂线,垂足为A,AB=10,若抛物线y=-1/6x^2+bx+c过点O、A两点
(1)求该抛物线的解析式
(2)若点A与点C关于直线y=-2x对称,判断点C是否在该抛物线上,并说明理由
(3)在(2)的抛物线上是否存在点Q(除A点外),使得△OBQ是直角三角形?若存在。求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。
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在平面直角坐标系中,点B在直线y=-2x上,过点B作x轴的垂线,垂足为A,AB=10,若抛物线y=-1/6x^2+bx+c过点O、A两点
(1)求该抛物线的解析式
(2)若点A与点C关于直线y=-2x对称,判断点C是否在该抛物线上,并说明理由
(3)在(2)的抛物线上是否存在点Q(除A点外),使得△OBQ是直角三角形?若存在。求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。
⑴∵AB=10,∴y=±10,代入y=-2x中求得x=-5或5,即B(-5,10)或B(5,-10)
∴A(-5,0)或(5,0)
①当A(-5,0)时,抛物线解析式可求得:y=1/6x^2+5/6x。
②当A(5,0)时,抛物线解析式可求得:y=1/6x^2-5/6x
⑵OB=√(10^2+5^2)=5√5
设AC与直线y=-2x交于D,由△AOB的面积两种求法1/2*AB*AO=1/2*AD*OB得:
AD=2√5,由于AC关于直线y=-2x对称,∴AC=4√5,
过C作CE⊥X轴于E,由RT△ACE∽RT△BOA得:CE=1/2AE,用勾股定理得:AE=8,CE=4
①当A(-5,0)时,C(3,4),当x=3时,y=1/6*9+5/6*4=29/6≠4,∴C不在抛物线上;
②当A(5,0)时,同理可得,E也不在抛物线上。
∴A关于直线y=-2x的对称点不在抛物线上。
⑶考虑三种情况:①以OB为直径的圆是否与抛物线相交,有交点就是Q;
②过O作OB的垂线,若与抛物线相交就是Q;
③过B作OB的垂线,若与抛物线相交就是Q。
没有图形,A不能确定,分类太多,下面的计算也太复杂,请参考2010年福州市中考题,本题是它的改造题,而且比原题更加困难。
再来一题吧:
已知二次函数y=x²+bx+c的图像与x轴交于A、B两点,与y轴交于P点,顶点为C(1,-2)
(1)作点C关于x轴的对称点D,顺次连接A、C、B、D,若在抛物线上存在点E,使直线PE将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形,求点E的坐标
(2)在以上的条件下,抛物线上是否存在一点F,使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形?求出F的坐标以前△PEF的面积
(1)抛物线的顶点坐标公式可知: - b =1,a=1,所以得 b=-2; 2a
4
4ac-b2 =-2,a=1,b=-2,求得 c=-1; 4a 所以,此抛物线的解析式为 y=x -2x-1 , 或者:因为 y=x2+bx+c 的顶点坐标为(1,-2) 2 2 所以 y=(x-1) -2,即 y= x -2x-1.
(2)由于点 A、点 B 是关于对称轴对称的两个点,点 C 是对 P 称轴上的点,所以,AC=BC。 又,点 D 是点 C 关于 x 轴的对称点, C (F) 所以,AD=BD=AC=BC, 因此,四边形 ACBD 是菱形,直线 PE 把四边形 ACBD 分 成两个面积相等的四边形,所以 PE 经过四边形 ACBD 的对称中心即(1,0) , 所以设PE 所在的直线解析式为:y=kx-1 将(1,0)代入直线 PE 的解析式解得:得 k=1 所以, PE所在直线的解析式为:y=x-1 设 E(x,x-1),代入 y= x2-2x-1,得 x-1= x2-2x-1, 解得:x1=0,x2=3, 根据题意得,E(3,2)
(3)假设存在这样的点 F,可设 F(x,x2-2x-1) ,过点 F 作 FG⊥y 轴,垂足为点 G, 在 Rt △POM 和 Rt △FGP 中, 因为∠OMP+∠OPM=90°,∠FPG+∠OPM=90°, 所以,∠OMP=∠FPG, 又,∠POM=∠PGF, 所以,△POM ∽△FGP,OM GP 所以, = . OP GF 又,OM=1,OP=1,所以,GP=GF, 即-1-(x2-2x-1)=x, 解得 x1=0,x2=1,根据题意得,F(1,-2) 。 以上各步均可逆,故点 F(1,-2)即为所求。
望采纳,谢谢
祝学习天天向上,不懂可以继续问我
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