在等边三角形ABC中,有任意一点P,到A、B、C的距离分别是3、4、5,请问角APB是多少度?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/02 14:20:15
在等边三角形ABC中,有任意一点P,到A、B、C的距离分别是3、4、5,请问角APB是多少度?
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在等边三角形ABC中,有任意一点P,到A、B、C的距离分别是3、4、5,请问角APB是多少度?
在等边三角形ABC中,有任意一点P,到A、B、C的距离分别是3、4、5,请问角APB是多少度?

在等边三角形ABC中,有任意一点P,到A、B、C的距离分别是3、4、5,请问角APB是多少度?
答案是:角APB＝150度
设角PAB=Q,等边三角形边长为a
PA=3,PB=4,PC=5
根据题意,由余弦定理得:
cosQ=(AP^2+AB^2-PB^2)/2*AP*AB=(9+a^2-16)/6a=(a^2-7)/6a(1式)
角CAP=60-角PAB=60-Q
cos(60-Q)=(AP^2+AC^2-CP^2)/2*CA*AP=(9+a^2-25)/6a=(a^2-16)/6a(2式)
而
cos(60-Q)=cos60cosQ-sin60sinQ=cosQ/2-根号3*sinQ/2=(a^2-16)/6a (3式)
将(1式)代入(3式)得:
cosQ/2-根号3*sinQ/2=(a^2-16)/6a
1/2*(a^2-7)/6a-根号3*sinQ/2=(a^2-16)/6a
-根号3*sinQ/2=(a^2-16)/6a -1/2*(a^2-7)/6a (等式两边同时乘以2)得:
-根号3*sinQ=2*(a^2-16)/6a-(a^2-7)/6a
-根号3*sinQ=(2a^2-32-a^2+7)/6a
-根号3*sinQ=(a^2-25)/6a
根号3*sinQ=(25-a^2)/6a
sinQ=(25-a^2)/6a根号3
而(sinQ)^2+(cosQ)^2=1
所以:
[(25-a^2)/6a根号3]^2+[(a^2-7)/6a]^2=1
(25-a^2)^2/108a^2 +(a^2-7)^2/36a^2=1
令a^2=t
(25-t)^2/108t +(t-7)^2/36t=1
(625-50t+t^2)/108t +(t^2-14t+49)/36t-1=0
(625-50t+t^2)/108t+(3t^2-42t+147)/108t -108t/108t=0
(625-50t+t^2+3t^2-42t+147-108t)/108t=0
t不等于0
所以(625-50t+t^2+3t^2-42t+147-108t)=0
4t^2-200t+772=0
t^2-50t+193=0
根据求根公式得
t1=25+12根号3
t2=25-12根号3
由（1式）得
a>0
cosQ＞0即：
(a^2-7)/6a＞0
a^2>7
t2=25-12根号3＜7（不合题意,舍去）
所以t=25+12根号3
即a^2=25+12根号3
又cos角APB=(AP^2+BP^2-AB^2)/2*AP*BP=(9+16-a^2)/24=(25-a^2)/24
将a^2=25+12根号3代入上式得：
cos角APB＝(25-a^2)/24＝（25-25-12根号3)/24=-根号3/2
即：角APB＝150度

在等边三角形ABC中,有任意一点P,到A、B、C的距离分别是3、4、5,请问角APB是多少度? 在等边三角形ABC中,已知P为平面内一点,且满足ABCP四点中任意三点连线都能构成等腰三角形,这样的点有? 在等边三角形ABC中,已知P为平面内一点,且满足ABCP四点中任意三点连线都能构成等腰三角形,这样的点有? 【急】在等边三角形ABC中,已知点P为平面内一点,且满足A、B、C、P四点中的任意三点连线都能够成等腰三角形在等边三角形ABC中,已知点P为平面内一点,且满足A、B、C、P四点中的任意三点连线 设P是等边三角形ABC内的任意一点,求证；P到等边三角形三条边距离之和为定值 在等边三角形ABC中,已知P为平面内一点,探究p到三边的距离之和是定值 谁知道等边三角形内任意一点到三个顶点的距离和小于两边之和P是边长为 a的等边三角形ABC内任意一点,证明PA+PB+PC〈2a.我证了好久不会 谁知道等边三角形内任意一点到三个顶点的距离和小于两边之和P是边长为 a的等边三角形ABC内任意一点,证明PA+PB+PC〈2a.我证了好久不会 已知等边三角形ABC外任意一点P,证明：PA 已知：△ABC是边长为a的等边三角形,P为△ABC中任意一点,EF‖AB、GH‖BC、MN‖AC 一道超难几何题在一个120°的三角形ABC中,有任意一点P,求证：点P到A,B,C的距离和等于120°角的夹边和吓我么~ 如图,在△ABC中,P是△ABC内任意一点,∠BPC与∠A有怎样的大小关系,证明你的结论 如图,在等边三角形ABC中,P为三角形ABC内任意一点,PD⊥BC于点D,PE⊥AC如图,在等边三角形abc中,p为三角形abc内任意一点,pd垂直bc于d,pe垂直ac于d.证明：AM=PD+PE+PF. 在等边三角形ABC中,p为BC上一点,D为AC上一点, 如图,在△ABC中,P是△ABC内任意一点,证明∠BPC＞∠A 等边三角形ABC边长为a,P是内部任意一点,求证:PA+PB+PC答对了再加20分 等边三角形ABC中有一动点P,P到△ABC三边的距离分别是a,b,c,试证明a+b+c的值不变 如图 在等边三角形ABC内接于圆 P为BC上任意一点 求证AP=BP+CP