一道数列题,200分!已知数列{an}首项a1=1,a（n+1)=3an+1,（n属于N*,n大于等于2）,求通项公式

一道数列题,200分!已知数列{an}首项a1=1,a（n+1)=3an+1,（n属于N*,n大于等于2）,求通项公式
一道数列题,200分!
已知数列{an}首项a1=1,a（n+1)=3an+1,（n属于N*,n大于等于2）,求通项公式

一道数列题,200分!已知数列{an}首项a1=1,a（n+1)=3an+1,（n属于N*,n大于等于2）,求通项公式
a(n+1)+1/2=3an+1+1/2=3an+3/2
a(n+1)+1/2=3(an+1/2)
[a(n+1)+1/2]/(an+1/2)=3
所以an+1/2是等比数列,q=3
a1+1/2=3/2
所以an+1/2=(a1+1/2)*q^(n-1)=(3^n)/2
an=-1/2+(3^n)/2

这个很简单，(a(n+1)+1/2)=3(an+1/2)设bn=an+1/2,b(n+1)=3bn这是个新的等比数列bn=b1*3^(n-1)=(3^n)/2
an=3^n/2-1/2

a（n+1）+1/2=3（an+1/2）=3*3(a(n-1)+1/2)……=3^n（a1+1/2）=3^n*3/2
凑项 而已
an=-1/2+(3^n)/2

an=3^(n-1)+(3^(n-1)-1)/2

设X满足[a(n+1)-x]=3(an-x),因为a(n+1)=3an+1.所以解得x=-1/2。
所以[a(n+1)+1/2]/(an+1/2)=3.即：(an+1/2)/[a(n-1)+1/2]=3，[a(n-1)+1/2]/[a(n-2)+1/2]=3....(a2+1/2)/(a1+1/2)=3.将以上的式子左边乘以左边=右边乘以右边。即：(an+1/2)/(a1+1/2)=3*(n-1).因为a1=1,所以an=(3*n-1)/2.

看下图，这样你会看的更明白一些 希望你能够记住这种方法 很多题都会用到

由于窗口背景设置成绿色的 所以图片背景为绿色 见谅

已知： 则有：
a1=1 an=3a(n-1)+1
a2=3a1+1 3a(n-1)=3^2a(n-2)+3
a3=3a2+1 3^2a(n-2)=3^3a(n-3)+3^2
a4=3a3...

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已知： 则有：
a1=1 an=3a(n-1)+1
a2=3a1+1 3a(n-1)=3^2a(n-2)+3
a3=3a2+1 3^2a(n-2)=3^3a(n-3)+3^2
a4=3a3+1 3^3a(n-3)=3^4a(n-4)+3^3
…… ……
a(n-3)=3a(n-4)+1 3^(n-4)a4=3^(n-3)a3+3^(n-4)
a(n-2)=3a(n-3)+1 3^(n-3)a3=3^(n-2)a2+3^(n-3)
a(n-1)=3a(n-2)+1 3^(n-2)a2=3^(n-1)a1+3^(n-2)
an=3a(n-1)+1 3^(n-1)a1=3^(n-1)
全部相加
左右两边相同的可以消去：
还剩：an=1+3+3^2+3^3+……+3^(n-4)+3^(n-3)+3^(n-2)+3^(n-1)
=(1-3^n)/（1-3）
=(3^n-1)/2
通项公式：an=(3^n-1)/2

收起

（思路：观察--》猜测--》验证）由a1=1,a(n+1)=3an+1(n≥2).可知，a1=1,a2=4,a3=13,a4=40,a5=121....===>a2-a1=3¹,a3-a2=9=3²,a4-a3=27=3³,a5-a4=81=3^4....猜测an-a(n-1)=3^(n-1).将上各式相加得：an-a1=3+3²+3³+...+3...

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（思路：观察--》猜测--》验证）由a1=1,a(n+1)=3an+1(n≥2).可知，a1=1,a2=4,a3=13,a4=40,a5=121....===>a2-a1=3¹,a3-a2=9=3²,a4-a3=27=3³,a5-a4=81=3^4....猜测an-a(n-1)=3^(n-1).将上各式相加得：an-a1=3+3²+3³+...+3^(n-1)=[-3+3^n]/2.===>an=[-1+3^n]/2.当n=1时，由此可得a1=1,当n≥2时3an+1=[-1+3^(n+1)]/2=a(n+1).故符合题设，∴通项为an=[-1+3^n]/2(n=1,2,3...)

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这种题，观察一下a（n+1)=3an+1，用凑方法来做。
草稿纸（设a（n+1）+x=3*(an+x)
解得x=1/2）
其他如第一个所回答的那样
a(n+1)+1/2=3(an+1/2)
[a(n+1)+1/2]/(an+1/2)=3
所以an+1/2是等比数列，q=3
a1+1/2=3/2
所以an+1/2=(a...

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这种题，观察一下a（n+1)=3an+1，用凑方法来做。
草稿纸（设a（n+1）+x=3*(an+x)
解得x=1/2）
其他如第一个所回答的那样
a(n+1)+1/2=3(an+1/2)
[a(n+1)+1/2]/(an+1/2)=3
所以an+1/2是等比数列，q=3
a1+1/2=3/2
所以an+1/2=(a1+1/2)*q^(n-1)=(3^n)/2
an=-1/2+(3^n)/2

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请见谅我也不会打数学符号

给等式两边同加x,得a(n+1)+ x=3(an+ 1/3 +x/3)
求得x=1/2
则数列an+1/2是首项为a2+1/2,公比为3的等比数列
易求得a2+1/2=9/2 因其为首项，等效于b1故用通项时应该减二:
知an+1/2=9/2*3（n-2) *是乘（）是幂 即n-2次方
则an=9/2...

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请见谅我也不会打数学符号

给等式两边同加x,得a(n+1)+ x=3(an+ 1/3 +x/3)
求得x=1/2
则数列an+1/2是首项为a2+1/2,公比为3的等比数列
易求得a2+1/2=9/2 因其为首项，等效于b1故用通项时应该减二:
知an+1/2=9/2*3（n-2) *是乘（）是幂 即n-2次方
则an=9/2*3(n-2)-1/2
a1=1亦符合此通项
解毕。
我很希望得到这分的！也当帮帮我啦!

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我贴了过程

(a(n+1)+1/2)=3(an+1/2)设bn=an+1/2,b(n+1)=3bn这是个新的等比数列bn=b1*3^(n-1)=(3^n)/2
an=3^n/2-1/2

a(n+1)+1/2=(3an+1)+1/2=3an+3/2
a(n+1)+1/2=3(an+1/2)
[a(n+1)+1/2]/(an+1/2)
故an+1/2是等比数列，q=3
因此an+1/2=(a1+1/2)*q^(n-1)=(3^n)/2
an=(3/2)*3^(n-1)-1/2

，(a(n+1)+1/2)=3(an+1/2)设bn=an+1/2,b(n+1)=3bn这是个新的等比数列bn=b1*3^(n-1)=(3^n)/2
an=3^n/2-1/2

a(n+1)+1/2)=3(an+1/2)设bn=an+1/2,b(n+1)=3bn这是个新的等比数列bn=b1*3^(n-1)=(3^n)/2
an=3^n/2-1/2

a(n+1)+1/2=3an+1+1/2=3an+3/2
a(n+1)+1/2=3(an+1/2)
[a(n+1)+1/2]/(an+1/2)=3
所以an+1/2是等比数列，q=3
a1+1/2=3/2
所以an+1/2=(a1+1/2)*q^(n-1)=(3^n)/2
an=-1/2+(3^n)/2 就这样做的 希望采纳 （声明这不是抄袭，而是我一步一步得算出来的）

a(n+1)=3an/(an+3),倒过来得
1/a(n+1)-1/an=1/3
1/an=1/3 n +2/3
an=3/(n+2)

1.等比数列 bn=b1*q^(n-1)
设X满足[a(n+1)-x]=3(an-x),因为a(n+1)=3an+1.所以解得x=-1/2。
a(n+1)+1/2=3an+1+1/2=3an+3/2
a(n+1)+1/2=3(an+1/2)
[a(n+1)+1/2]/(an+1/2)=3
所以an+1/2是等比数列，q=3
a1+1/2...

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1.等比数列 bn=b1*q^(n-1)
设X满足[a(n+1)-x]=3(an-x),因为a(n+1)=3an+1.所以解得x=-1/2。
a(n+1)+1/2=3an+1+1/2=3an+3/2
a(n+1)+1/2=3(an+1/2)
[a(n+1)+1/2]/(an+1/2)=3
所以an+1/2是等比数列，q=3
a1+1/2=3/2
所以an+1/2=(a1+1/2)*q^(n-1)=(3^n)/2
an=-1/2+(3^n)/2
2.穷举法
已知：
a1=1 an=3a(n-1)+1
a2=3a1+1 *3=> 3a(n-1)=3^2a(n-2)+3
a3=3a2+1 *3=> 3^2a(n-2)=3^3a(n-3)+3^2
a4=3a3+1 *3=> 3^3a(n-3)=3^4a(n-4)+3^3
…… *3=> ……
a(n-3)=3a(n-4)+1 *3 => 3^(n-4)a4=3^(n-3)a3+3^(n-4)
a(n-2)=3a(n-3)+1 *3 => 3^(n-3)a3=3^(n-2)a2+3^(n-3)
a(n-1)=3a(n-2)+1 *3 => 3^(n-2)a2=3^(n-1)a1+3^(n-2)
an=3a(n-1)+1 *3 => 3^(n-1)a1=3^(n-1)
全部相加
左右两边相同的可以消去：
还剩：an=1+3+3^2+3^3+……+3^(n-4)+3^(n-3)+3^(n-2)+3^(n-1)
=(1-3^n)/（1-3）
=(3^n-1)/2
通项公式：an=(3^n-1)/2

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因为 a（n+1)=3an+1
则 a（n＋1）－1/2＝3（an-1/2）
所以数列{an－1/2}是等比数列
则 an－1/2＝（a1－1/2）*q^(n-1）
其中q＝（a1－1/2)/（a2－1/2)=3
所以an＝1/2＋1/2*3^n

此题关键是理解条件n>=2 ，说明所给条件a1不满足通项。把通项变形-----S(n+1)-Sn=3[Sn-S(n-1)]+1 ,这样就把条件a1利用起来了。继续化简，S(n+1)-4Sn+3S(n-1)+1=0 ------ S(n+1)-S(n-1)-4[Sn-S(n-1)]=-1------a(n+1)=3an-1 (1)------(1)和递推条件联合求解，得a(n+1)/an=3----...

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此题关键是理解条件n>=2 ，说明所给条件a1不满足通项。把通项变形-----S(n+1)-Sn=3[Sn-S(n-1)]+1 ,这样就把条件a1利用起来了。继续化简，S(n+1)-4Sn+3S(n-1)+1=0 ------ S(n+1)-S(n-1)-4[Sn-S(n-1)]=-1------a(n+1)=3an-1 (1)------(1)和递推条件联合求解，得a(n+1)/an=3------(2)。将题目条件a(n+1)=3an+1两边同时除于an得3=3+1/an，即3=3+1/an，所以an=无穷（正无穷或者负无穷）。 由(2)知道数列an为等比数列，公比为3。所以an的近似形式为lim(k趋于无穷)3^(kn) (n>=2) ------含a1项的通项表达式为an=lim(k趋于无穷)3^[k(n-1)]

收起

a（n+1)=3an+1
a(n+1)+1/2=3an+1+1/2=3an+3/2
a(n+1)+1/2=3(an+1/2)
[a(n+1)+1/2]/(an+1/2)=3
所以an+1/2是等比数列，q=3
a1+1/2=3/2
所以an+1/2=(a1+1/2)*q^(n-1)=3/2*3^(n-1)=(3^n)/2
an=-1/2+(3^n)/2

这类题的做法按照下边方法做的话自己就会做了
把an和a（n+1）换成X
解得 X=-0.5
那你就凑an-（-0.5）
所以上式就写成了

a（n+1）+0.5=3（an+0.5）
把（an+0.5）看成一项，就是等比数列
解等数列的通项 进而求an通项