初三一元二次方程题求解若a,b,c为不相等的实数,证明三个二次方程ax²+2bx+c=0,bx²+2cx+a=0,cx²+2ax+b=0不可能都有两相等的实数根.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/05 08:16:12
![初三一元二次方程题求解若a,b,c为不相等的实数,证明三个二次方程ax²+2bx+c=0,bx²+2cx+a=0,cx²+2ax+b=0不可能都有两相等的实数根.](/uploads/image/z/15172686-54-6.jpg?t=%E5%88%9D%E4%B8%89%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E9%A2%98%E6%B1%82%E8%A7%A3%E8%8B%A5a%2Cb%2Cc%E4%B8%BA%E4%B8%8D%E7%9B%B8%E7%AD%89%E7%9A%84%E5%AE%9E%E6%95%B0%2C%E8%AF%81%E6%98%8E%E4%B8%89%E4%B8%AA%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8Bax%26%23178%3B%EF%BC%8B2bx%2Bc%3D0%2Cbx%26%23178%3B%2B2cx%2Ba%3D0%2Ccx%26%23178%3B%2B2ax%2Bb%3D0%E4%B8%8D%E5%8F%AF%E8%83%BD%E9%83%BD%E6%9C%89%E4%B8%A4%E7%9B%B8%E7%AD%89%E7%9A%84%E5%AE%9E%E6%95%B0%E6%A0%B9.)
初三一元二次方程题求解若a,b,c为不相等的实数,证明三个二次方程ax²+2bx+c=0,bx²+2cx+a=0,cx²+2ax+b=0不可能都有两相等的实数根.
初三一元二次方程题求解
若a,b,c为不相等的实数,证明三个二次方程ax²+2bx+c=0,bx²+2cx+a=0,cx²+2ax+b=0不可能都有两相等的实数根.
初三一元二次方程题求解若a,b,c为不相等的实数,证明三个二次方程ax²+2bx+c=0,bx²+2cx+a=0,cx²+2ax+b=0不可能都有两相等的实数根.
方程1:ax²+2bx+c=0的判别式△1=4b^2-4ac=4(b^2-ac),
方程2:bx²+2cx+a=0的判别式△2=4c^2-4ba=4(c^2-ba),
方程3:cx²+2ax+b=0的判别式△3=4a^2-4cb=4(a^2-cb),
假设三个方程均有两相等的实数根,则:
△1=△2=△3=0,
——》b^2-ac=c^2-ba=a^2-cb=0,
——》a=b=c,
与已知条件a,b,c为不相等的实数相矛盾,
——》假设不成立,
即三个方程不可能都有两相等的实数根,命题得证.
证:
假设:三个方程都有两相等的实根。
由:ax²+2bx+c=0,
有:4b²-4ac=0…………………………(1)
由:bx²+2cx+a=0,
有:4c²-4ab=0…………………………(2)
由:cx²+2ax+b=0,
有:4a²-4bc=0…………………………(3)
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证:
假设:三个方程都有两相等的实根。
由:ax²+2bx+c=0,
有:4b²-4ac=0…………………………(1)
由:bx²+2cx+a=0,
有:4c²-4ab=0…………………………(2)
由:cx²+2ax+b=0,
有:4a²-4bc=0…………………………(3)
(1)+(2)+(3),得:
4(a²+b²+c²)-4(ab+bc+ac)=0
2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0
(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(a²-2ac+c²)=0
(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=0
有:a-b=0、b-c=0、a-c=0
解得:a=b=c
与已知a、b、c互不相等,相矛盾。
故:假设不成立。
即:三个二次方程ax²+2bx+c=0,bx²+2cx+a=0,cx²+2ax+b=0不可能都有两相等的实数根。
证毕。
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