在△ABC的BC边上任取一点P,作PD平行于AC,PE平行于AB,PD、PE和以AB,AC为直径而在三角形外侧所做的半圆的交点分别为D、E.求证D、A、E三点共线.这个题解了一个学期啦,好难啊……我们还没学解析几
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/17 16:18:47
![在△ABC的BC边上任取一点P,作PD平行于AC,PE平行于AB,PD、PE和以AB,AC为直径而在三角形外侧所做的半圆的交点分别为D、E.求证D、A、E三点共线.这个题解了一个学期啦,好难啊……我们还没学解析几](/uploads/image/z/15207867-27-7.jpg?t=%E5%9C%A8%E2%96%B3ABC%E7%9A%84BC%E8%BE%B9%E4%B8%8A%E4%BB%BB%E5%8F%96%E4%B8%80%E7%82%B9P%2C%E4%BD%9CPD%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E4%BA%8EAC%2CPE%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E4%BA%8EAB%2CPD%E3%80%81PE%E5%92%8C%E4%BB%A5AB%2CAC%E4%B8%BA%E7%9B%B4%E5%BE%84%E8%80%8C%E5%9C%A8%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E5%A4%96%E4%BE%A7%E6%89%80%E5%81%9A%E7%9A%84%E5%8D%8A%E5%9C%86%E7%9A%84%E4%BA%A4%E7%82%B9%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BAD%E3%80%81E.%E6%B1%82%E8%AF%81D%E3%80%81A%E3%80%81E%E4%B8%89%E7%82%B9%E5%85%B1%E7%BA%BF.%E8%BF%99%E4%B8%AA%E9%A2%98%E8%A7%A3%E4%BA%86%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%AD%A6%E6%9C%9F%E5%95%A6%2C%E5%A5%BD%E9%9A%BE%E5%95%8A%E2%80%A6%E2%80%A6%E6%88%91%E4%BB%AC%E8%BF%98%E6%B2%A1%E5%AD%A6%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%87%A0)
在△ABC的BC边上任取一点P,作PD平行于AC,PE平行于AB,PD、PE和以AB,AC为直径而在三角形外侧所做的半圆的交点分别为D、E.求证D、A、E三点共线.这个题解了一个学期啦,好难啊……我们还没学解析几
在△ABC的BC边上任取一点P,作PD平行于AC,PE平行于AB,PD、PE和以AB,AC为直径而在三角形外侧所做的半圆的交点分别为D、E.求证D、A、E三点共线.
这个题解了一个学期啦,好难啊……
我们还没学解析几何,最好不要用解析几何法来求证…
在△ABC的BC边上任取一点P,作PD平行于AC,PE平行于AB,PD、PE和以AB,AC为直径而在三角形外侧所做的半圆的交点分别为D、E.求证D、A、E三点共线.这个题解了一个学期啦,好难啊……我们还没学解析几
用同一法. 延长DA交AC外侧半圆于E', 连PE'.
只要证明PE' // AB, 则有E与E'重合, 从而D, A, E三点共线.
连接并延长BD, 与CA延长线交于F, 连接并延长CE', 与BA延长线交于G.
∵AB是直径, ∴BD ⊥ DE'. 同理CE' ⊥ DE', ∴BF // CG.
∵∠ACE' = ∠AFD (内错角相等), ∠E'AC = ∠DAF (对顶角相等),
∴△ACE' ∽ △AFD (AA). 有CE':CA = FD:FA.
∵∠ACG = ∠AFB (内错角相等), ∠GAC = ∠BAF (对顶角相等),
∴△ACG ∽ △AFB (AA). 有CA:CG = FA:FB.
∴CE':CG = FD:FB.
又∵PD // CF, ∴FD:FB = CP:CB (平行线分线段成比例), 得CE':CG = CP:CB.
而∠PCE' = ∠BCG,
∴△PCE' ∽ △BCG. 有∠CPE' = ∠CBG.
∴PE' // AB得证.