用三角函数解：满足条件AB=2,AC=根号2BC的三角形ABC的面积最大值是?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 19:48:57
用三角函数解：满足条件AB=2,AC=根号2BC的三角形ABC的面积最大值是?
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用三角函数解：满足条件AB=2,AC=根号2BC的三角形ABC的面积最大值是?
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按题意有,2BC^2=BC^2+AB^2
可得：BC=AB=2
所以,所求的面积为：
s=(AB×BC)/2
=2×2/2
=2

S△ABC=1/2AB*AC*Sin∠C 因为Sin∠C最大为1，所以S△ABC最大=1/2*2*根号2=根号2

由题可知，c=2,b=根号下2a
由余弦定理可知b^2=a^2+c^2-2ac cosB,代入可得2ac cosB=a^2-2a+4=(a-1)^2+3
而△ABC面积等于ac sinB,sinB要越大，cosB就要越小，于是△ABC面积最大值为3/2

设BC=a，则AC=√2a。由余弦定理：
cosC=(3a²-4)/2√2a²，
∴sinC=√(-a^4+24a²-16)/2√2a²
∴三角形面积=√(-a^4+24a²-16)/4
=√[128-(a²-12)²]/4
≤√128/4=8√2/4=2√2
∴最大面积2√2.

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