已知a,b,c是三角形ABC的三边,求证:(a²+b²-c²)²-4a²b²

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/12/02 07:25:14
已知a,b,c是三角形ABC的三边,求证:(a²+b²-c²)²-4a²b²
x){}KutXdG哞]|V oγM/73D5eCs k$ @U@$;:E.M

已知a,b,c是三角形ABC的三边,求证:(a²+b²-c²)²-4a²b²
已知a,b,c是三角形ABC的三边,求证:(a²+b²-c²)²-4a²b²

已知a,b,c是三角形ABC的三边,求证:(a²+b²-c²)²-4a²b²
(a²+b²-c²)²-4a²b²
=(a²+b²-c²)^2-(2ab)²
=(a²+2ab+b²-c²)(a²-2ab+b²-c²)
=[(a+b)²-c²][(a-b)²-c²]
=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)
边长大于0,a+b+c>0,
三角形两边之和大于第三边,
所以:
a+b>c,
a+b-c>0,
同理,a+c-b>0,
b+c>a,
a-b-c

(a²+b²-c²)²-4a²b²
=(a²+b²-c²)²-(2ab)²
=(a²+b²-c²+2ab)(a²+b²-c²-2ab)
=[(a+b)²-c²][(a-b)²-...

全部展开

(a²+b²-c²)²-4a²b²
=(a²+b²-c²)²-(2ab)²
=(a²+b²-c²+2ab)(a²+b²-c²-2ab)
=[(a+b)²-c²][(a-b)²-c²]
=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)
∵a,b,c是三角形的三边,且三角形两边和大于第三边
∴a+b+c>0
a+b-c>0
a-b+c>0
a-b-c<0
∴(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)<0
∴(a²+b²-c²)²-4a²b²<0

收起