已知点P在双曲线x^2/16-y^2/9=1上,并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到双曲线两个焦点的距离的等差中项,那么P点的横坐标是 多少?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/09 20:18:46
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已知点P在双曲线x^2/16-y^2/9=1上,并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到双曲线两个焦点的距离的等差中项,那么P点的横坐标是 多少?
已知点P在双曲线x^2/16-y^2/9=1上,并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到双曲线两个焦点的距离的等差中
项,那么P点的横坐标是 多少?
已知点P在双曲线x^2/16-y^2/9=1上,并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到双曲线两个焦点的距离的等差中项,那么P点的横坐标是 多少?
易知a=4,b=3,c=5,e=5/4
(注意到c^2=a^2+b^2,e=c/a)
令P(xp,yp)
令P到右准线的距离为d(d>0)
则PF1+PF2=2d(I)
若P点在右支
由圆锥曲线第二定义有PF2/d=e
即有PF2=de(II)
而由双曲线第一定义有PF1-PF2=2a
即有PF1=PF2+2a=de+2a(III)
由(I)(II)(III)得d=a/(1-e)0矛盾
显然符合条件的P不在右支
因P点在左支(xp
a=4,b=3,c=5,离心率e=c/a=5/4,
准线方程为:x=±a^2/c=±16/5,
根据双曲线第二定义,双曲线上一点至焦点距离与到准线距离之比为离心率e,双曲线e>1,
故从题中条件可知,P点应在左支上,设P至左准线距离为|PD|,至右准线距离为|PH|,
∵|PD|<|PF1|,
∴|PD|不可能是|PF1|和|PF2|的等差中项,只能是至右准...
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a=4,b=3,c=5,离心率e=c/a=5/4,
准线方程为:x=±a^2/c=±16/5,
根据双曲线第二定义,双曲线上一点至焦点距离与到准线距离之比为离心率e,双曲线e>1,
故从题中条件可知,P点应在左支上,设P至左准线距离为|PD|,至右准线距离为|PH|,
∵|PD|<|PF1|,
∴|PD|不可能是|PF1|和|PF2|的等差中项,只能是至右准线距离|PH|.
|DH|=2a^2/c=32/5,(左右准线关于Y轴对称,二者距离为16*2/5=32/5)
∵|PF1|/|PD|=2=5/4,
∴|PD|=4|PF1|/5
∴|PH|=4|PF1|/5+32/5,
|PF1|+|PF2|=2|PH|=8|PF1|/5+64/5,
|PF2|-3|PF1|/5=64/5,(1)
根据双曲线定义,|PF2|-|PF1|=2a=8,(2)
(1)-(2)式,
2|PF1|/5=24/5,
|PF1|=12,
∵|PF1|/|PD|=e=5/4,
|PD|=12*4/5=48/5,
设P点横坐标为x0,
∵D在左准线上,
∴D的横坐标为-16/5,
-16/5-x0=48/5,
∴x0=-64/5.
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