若sinA+sinB=sinC(cosA+cosB),试判断三角形ABC的形状是什么形状是什么第一行到第二行右边看不懂:为什么sinA+sinB=2sinA+B/2cosA+B/2/2cosA+B/2cosA-B/2
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/18 02:53:09
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若sinA+sinB=sinC(cosA+cosB),试判断三角形ABC的形状是什么形状是什么第一行到第二行右边看不懂:为什么sinA+sinB=2sinA+B/2cosA+B/2/2cosA+B/2cosA-B/2
若sinA+sinB=sinC(cosA+cosB),试判断三角形ABC的形状是什么形状是什么
第一行到第二行右边看不懂:为什么sinA+sinB=2sinA+B/2cosA+B/2/2cosA+B/2cosA-B/2
若sinA+sinB=sinC(cosA+cosB),试判断三角形ABC的形状是什么形状是什么第一行到第二行右边看不懂:为什么sinA+sinB=2sinA+B/2cosA+B/2/2cosA+B/2cosA-B/2
本人将过程叙述得详细些,估计你就能够看明白了.
∵sinA+sinB=sinC(cosA+cosB),······①
∴(cosA+cosB)不为0,否则就有sinA+sinB=0,得:sinC=0.
而在△ABC中,sinC>0.
①的两边同除以(cosA+cosB),得:sinC=(sinA+sinB)/(cosA+cosB).
在△ABC中,有:C=180°-(A+B),
∴sin[180°-(A+B)]=(sinA+sinB)/(cosA+cosB).······②
∵sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2],
cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2],
∴(sinA+sinB)/(cosA+cosB)=sin[(A+B)/2]/cos[(A+B)/2],
∴②可变成:sin(A+B)=sin[(A+B)/2]/cos[(A+B)/2],
∴2sin[(A+B)/2]cos[(A+B)/2]=sin[(A+B)/2]/cos[(A+B)/2].······③
显然有:sin[(A+B)/2]=sin[(180°-C)/2]=cos(C/2)>0.
∴③两边同除以sin[(A+B)/2],得:2cos[(A+B)/2]=1/cos[(A+B)/2],
∴{cos[(A+B)/2]}^2=1/2,∴{cos[(180°-C)/2]}^2=1/2,
∴[sin(C/2)]^2=1/2.
在△ABC中,有:sin(C/2)>0,∴sin(C/2)=1/√2,∴C/2=45°,∴C=90°.
∴△ABC是以AB为斜边的Rt△.
本题还可以用正弦定理和余弦定理结合起来证明,具体如下:
∵sinA+sinB=sinC(cosA+cosB),
∴a/(2R)+b/(2R)=[c/(2R)](cosA+cosB),
∴a+b=c(cosA+cosB),
∴2ab(a+b)=a(2bccosA)+b(2accosB),
∴2ab(a+b)=a(b^2+c^2-a^2)+b(a^2+c^2-b^2),
∴2ab(a+b)=ab(a+b)+c^2(a+b)-(a^3+b^3),
∴ab(a+b)=c^2(a+b)-(a+b)(a^2-ab+b^2).
显然有:(a+b)不为0,∴ab=c^2-(a^2-ab+b^2),∴a^2+b^2=c^2.
∴△ABC是以AB为斜边的Rt△.