第七题 复变函数解析性那一块的题
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/11 11:51:21
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第七题 复变函数解析性那一块的题
第七题 复变函数解析性那一块的题
第七题 复变函数解析性那一块的题
|f(z)|=√(u²+v²),
∂|f(z)|/∂x=[1/√(u²+v²)](u∂u/∂x+v∂v/∂x)
∂|f(z)|/∂y=[1/√(u²+v²)](u∂u/∂y+v∂v/∂y)
(∂|f(z)|/∂x)²=[1/(u²+v²)][u²(∂u/∂x)²+v²(∂v/∂x)²+2uv(∂u/∂x)(∂v/∂x)]
(∂|f(z)|/∂y)²=[1/(u²+v²)][u²(∂u/∂y)²+v²(∂v/∂y)²+2uv(∂u/∂y)(∂v/∂y)]
(∂|f(z)|/∂x)²+(∂|f(z)|/∂y)²=[1/(u²+v²)]
[u²(∂u/∂x)²+v²(∂v/∂x)²+2uv(∂u/∂x)(∂v/∂x)+u²(∂u/∂y)²+v²(∂v/∂y)²+2uv(∂u/∂y)(∂v/∂y)] 根据柯西黎曼方程:∂u/∂x=∂v/∂y,∂u/∂y=-∂v/∂x,得:
u²
(∂u/∂x)²+v²(∂v/∂x)²+2uv(∂u/∂x)(∂v/∂x)+u²(∂u/∂y)²+v²(∂v/∂y)²+2uv(∂u/∂y)
(∂v/∂y)=u²(∂u/∂x)²+v²(∂v/∂x)²+2uv(∂u/∂x)(∂v/∂x)+u²(∂v/∂x)²+v²(∂u
/∂x)²-2uv(∂u/∂x)(∂v/∂x)=(u²+v²)[(∂u/∂x)²+(∂v/∂x)²]
所以(∂|f(z)|/∂x)²+(∂|f(z)|/∂y)²=(∂u/∂x)²+(∂v/∂x)²=|f‘(z)|²(注意到f’(z)=∂u/∂x+i∂v/∂x)