在等腰△ABC中,O为底边BC的中点,以O为圆心作半圆与AB、AC相切,切点分别为D、E,过半圆上一点F作半圆的切线,分别交AB、AC于M、N,那么,BM*CN除以BC的平方等于多少?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/08 18:11:58
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在等腰△ABC中,O为底边BC的中点,以O为圆心作半圆与AB、AC相切,切点分别为D、E,过半圆上一点F作半圆的切线,分别交AB、AC于M、N,那么,BM*CN除以BC的平方等于多少?
在等腰△ABC中,O为底边BC的中点,以O为圆心作半圆与AB、AC相切,切点分别为D、E,过半圆上一点F作半圆的切线,分别交AB、AC于M、N,那么,BM*CN除以BC的平方等于多少?
在等腰△ABC中,O为底边BC的中点,以O为圆心作半圆与AB、AC相切,切点分别为D、E,过半圆上一点F作半圆的切线,分别交AB、AC于M、N,那么,BM*CN除以BC的平方等于多少?
设D、E两点分别在AB、AC上,则
∵以O为圆心的圆同时与AB、AC和MN相切
∴OM、ON分别为∠FMD和∠FNE的角平分线,
则(1):∠OMB+∠ONC=∠OMN+∠ONM=1/2∠FMD+1/2∠FNE
=1/2(180°-∠AMN)+1/2(180°-∠ANM)
=1/2(360°-(∠AMN+∠ANM))
=1/2(360°-(180°-∠A))
=90°+1/2∠A
∴∠MON=180°-(∠OMN+∠ONM)
=180°-(90°+1/2∠A)
=90°-1/2∠A
∴(2):∠BOM+∠CON=180°-∠MON
=180°-(90°-1/2∠A)
=90°+1/2∠A
∴由(1)(2)可知:
(3):∠OMB+∠ONC=∠OMN+∠ONM=∠BOM+∠CON=90°+1/2∠A
∵∠B=∠C
∴(4):∠BOM+∠BMO=∠CON+∠CNO=180°-(180°-∠A)/2=90°+1/2∠A
∴由(3)(4)可知:
∠BOM+∠BMO=∠BOM+∠CON=90°+1/2∠A
∴∠CON=∠BMO
又∵∠B=∠C
∴ΔBOM∽ΔCNO ,从而BM/CO=BO/CN,BM*CN=BO*CO=0.25BC^2,BM*CN除以BC的平方等于1/4.