一道高一关于集合的奥数题,高分求高手设集合M={1,2,…,1000},现对M的任一非空子集X,令Ax表示X中最大数与最小数之和,那么所有这样的Ax的算术平均值为多少?请诸位高手说出详细过程,如果可
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/13 19:50:42
![一道高一关于集合的奥数题,高分求高手设集合M={1,2,…,1000},现对M的任一非空子集X,令Ax表示X中最大数与最小数之和,那么所有这样的Ax的算术平均值为多少?请诸位高手说出详细过程,如果可](/uploads/image/z/1984650-42-0.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%93%E9%AB%98%E4%B8%80%E5%85%B3%E4%BA%8E%E9%9B%86%E5%90%88%E7%9A%84%E5%A5%A5%E6%95%B0%E9%A2%98%2C%E9%AB%98%E5%88%86%E6%B1%82%E9%AB%98%E6%89%8B%E8%AE%BE%E9%9B%86%E5%90%88M%3D%EF%BD%9B1%2C2%2C%E2%80%A6%2C1000%EF%BD%9D%2C%E7%8E%B0%E5%AF%B9M%E7%9A%84%E4%BB%BB%E4%B8%80%E9%9D%9E%E7%A9%BA%E5%AD%90%E9%9B%86X%2C%E4%BB%A4Ax%E8%A1%A8%E7%A4%BAX%E4%B8%AD%E6%9C%80%E5%A4%A7%E6%95%B0%E4%B8%8E%E6%9C%80%E5%B0%8F%E6%95%B0%E4%B9%8B%E5%92%8C%2C%E9%82%A3%E4%B9%88%E6%89%80%E6%9C%89%E8%BF%99%E6%A0%B7%E7%9A%84Ax%E7%9A%84%E7%AE%97%E6%9C%AF%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%80%BC%E4%B8%BA%E5%A4%9A%E5%B0%91%3F%E8%AF%B7%E8%AF%B8%E4%BD%8D%E9%AB%98%E6%89%8B%E8%AF%B4%E5%87%BA%E8%AF%A6%E7%BB%86%E8%BF%87%E7%A8%8B%2C%E5%A6%82%E6%9E%9C%E5%8F%AF)
一道高一关于集合的奥数题,高分求高手设集合M={1,2,…,1000},现对M的任一非空子集X,令Ax表示X中最大数与最小数之和,那么所有这样的Ax的算术平均值为多少?请诸位高手说出详细过程,如果可
一道高一关于集合的奥数题,高分求高手
设集合M={1,2,…,1000},现对M的任一非空子集X,令Ax表示X中最大数与最小数之和,那么所有这样的Ax的算术平均值为多少?
请诸位高手说出详细过程,如果可以我还可以加分!
前两位高手的回答还是看不怎么明白,能再说易懂些吗?谢谢
请问一下diggingdog,为什么含1000的子集有2^999个?是怎么找出来的呢?
一道高一关于集合的奥数题,高分求高手设集合M={1,2,…,1000},现对M的任一非空子集X,令Ax表示X中最大数与最小数之和,那么所有这样的Ax的算术平均值为多少?请诸位高手说出详细过程,如果可
既然楼主看不明白,我就移到我的空间了,免得以后没选上现眼.
首先,非空子集的个数是2^1000-1
要求所有Ax的和,先求最大数的和:
含1000的子集有2^999个,不含1000、含999的子集有2^998
不含1000、999,含998的有2^997个
……
只含1的子集有2^0=1个
最大数的和为1000*2^999+999*2^998+998*2^997+……+1*2^0
同理,...
全部展开
首先,非空子集的个数是2^1000-1
要求所有Ax的和,先求最大数的和:
含1000的子集有2^999个,不含1000、含999的子集有2^998
不含1000、999,含998的有2^997个
……
只含1的子集有2^0=1个
最大数的和为1000*2^999+999*2^998+998*2^997+……+1*2^0
同理,最小数的和:
含1的子集有2^999个,不含1、含2的有2^998
只含1000的有2^0=1个
最小数的和为1*2^999+2*2^998+3*2^997+……+1000*2^0
两式相加为1001(1+2+4+……+2^999)=1001(2^1000-1)
于是Ax的算术平均值为1001
收起
1
2楼3楼正解
所有这样的Ax的算术平均值可表示为下面这种形式:
[(最小数+最大数)+(最小数+最大数)+......(最小数+最大数)]/(2^1000-1)=
[(最小数+最小数+......最小数)+(最大数+最大数+......最大数)]/(2^1000-1)
(2^1000-1)表示所有非空子集的个数,也是AX的个数,Ax表示非空子集X中最大数与最小数之和。因此只要算出最...
全部展开
所有这样的Ax的算术平均值可表示为下面这种形式:
[(最小数+最大数)+(最小数+最大数)+......(最小数+最大数)]/(2^1000-1)=
[(最小数+最小数+......最小数)+(最大数+最大数+......最大数)]/(2^1000-1)
(2^1000-1)表示所有非空子集的个数,也是AX的个数,Ax表示非空子集X中最大数与最小数之和。因此只要算出最小数之和与最大数之和问题就解决了。含1000的子集有多少个呢,可以这样理如何从M中取出一个含1000的子集?肯定要先取出元素1000,那么对于1我们可取也可不取,2也是如此,3也是如此。。。。999也是如此,最后含1000的子集就有2^999个,子集最大元素为1000的2^999个子集都是要参与上面平均值计算的,后面的都是同理。这就是3楼的正解了!子集最大元素为999的肯定不含1000了,因为是最大元素,所以这样的子集个数为2^998,其它依此类推!
收起