曲线x∧2-2xy-3y∧2=1 的点到坐标原点的距离的最小值

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/27 13:33:20
曲线x∧2-2xy-3y∧2=1 的点到坐标原点的距离的最小值
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曲线x∧2-2xy-3y∧2=1 的点到坐标原点的距离的最小值
曲线x∧2-2xy-3y∧2=1 的点到坐标原点的距离的最小值

曲线x∧2-2xy-3y∧2=1 的点到坐标原点的距离的最小值
此方程的确是中心在原点的双曲线(用-x, -y分别取代x, y,方程不变).所以进行坐标系旋转,将方程变为标准形式,其余就很简单.


将坐标系绕原点逆时针旋转θ,则新旧坐标的关系是:
x = x'cosθ + y'sinθ
y = y'cosθ - x'sinθ
代入x² - 2xy - 3y² = 1并整理:
x'²(cos²θ - 3sin²θ + 2sinθcosθ) -2y'²(3cos²θ - sin²θ + 2sinθcosθ) + x'y'(8sinθcosθ + 2sin²θ - 2cos²θ) =1
然后取x'y'的系数= 8sinθcosθ + 2sin²θ - 2cos²θ = 2(2sin2θ - cos2θ) = 0
2sin2θ - cos2θ = 0
tan2θ = 1/2, 0 < 2θ < π/2
sin2θ/√(1 - sin²2θ) = 1/2
sin2θ = 1/√5, cos2θ = 2/√5
x'²的系数cos²θ - 3sin²θ + 2sinθcosθ = 2cos2θ - 1 + sin2θ = 4/√5 - 1 + 1/√5 = √5 - 1
y'²的系数3²θ - sin²θ + 2sinθcosθ = 2cos2θ + 1 + sin2θ = 4/√5 + 1 + 1/√5 = √5 + 1
双曲线: (√5 - 1)x'² - (√5 - 1)y'² = 1


a² = 1/(√5 - 1) = (√5 + 1)/4
到坐标原点的距离的最小值 = a = (1/2)√(√5 + 1)


图中没画新的坐标系,而是在旧坐标系画了新双曲线.


高三的吧？可以先将它化为双曲线方程，(x--1)的平方/2--1.5乘以(y的平方)=1再画图，与x轴交点为(1±√2).所以到原点最短为√2--1

曲线x∧2-2xy-3y∧2=1 的点到坐标原点的距离的最小值 求曲线x^2-3xy-3y^2=1到原点的距离的平方的最小值 求曲线x^2+3xy+y^2+1=0在点M(2,-1)处的切线方程 求曲线x^2+xy+y^2=3在点（1,1）处的切线方程 求曲线Y=3xy^3-2x在点（1,1）处的切线方程 一曲线经过点(0,3) 其点上(x,y)的斜率是2xy,求曲线方程? 设平面曲线的方程为X^2-2XY+3Y^2=3 ,求曲线上点(2,1)处的切线方程. 求直线2x-y 1=0上点(1,3)到直线与曲线y=x∧2交点间的距离 曲线y=ln（x-1）上的点到2x-y+3=0的最短距离 计算曲线积分∫L（2xy+3sinx）dx+(x2-ey)dy,其中L为摆线 x=t-sint Y=1-cost 从点O(0,0)到A（π,2）的一段计算曲线积分∫L（2xy+3sinx）dx+(x2-ey)dy,其中L为摆线 x=t-sint Y 已知曲线y=(x²+1)/x (x>0)①求曲线在x=2处的切线方程 ②求曲线上的点到直线3x-4y-11=0的距离的最小值 点A（M,2）在曲线X的平方+XY-Y-1=0上的充要条件是 曲线x^2-xy-2y+2=0关于直线 x+y-1=0对称的曲线方程是A y^2-xy-x-y+2=0B y^2-xy-x+3y+4=0C y^2-xy+3x-y=0D x^2-xy-2x+2=0 求曲线2X+XY²-2Y=2在点(0,-1)处的切线方程. 曲线x^2+y^2-xy=1在点(1,1)处的切线方程为 点P(x,y)是曲线y=√1-(x-√5)^2上一点则x^2+y^2/xy的最小值 点P(x,y)是曲线y=√1-(x-√5)^2上一点则x^2+y^2/xy的最小值 x^2-3xy y^2=1的曲线为