已知:E,F,G,H分别为正方形ABCD各边AB,BC,CD,DA的中点,连接AF,BG,CH,DE,依次两两相交于点P,Q,M,N.求证:PQMN是正方形.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/13 07:58:09
![已知:E,F,G,H分别为正方形ABCD各边AB,BC,CD,DA的中点,连接AF,BG,CH,DE,依次两两相交于点P,Q,M,N.求证:PQMN是正方形.](/uploads/image/z/2356867-19-7.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%EF%BC%9AE%2CF%2CG%2CH%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BA%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2ABCD%E5%90%84%E8%BE%B9AB%2CBC%2CCD%2CDA%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%2C%E8%BF%9E%E6%8E%A5AF%2CBG%2CCH%2CDE%2C%E4%BE%9D%E6%AC%A1%E4%B8%A4%E4%B8%A4%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E7%82%B9P%2CQ%2CM%2CN.%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9APQMN%E6%98%AF%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2.)
已知:E,F,G,H分别为正方形ABCD各边AB,BC,CD,DA的中点,连接AF,BG,CH,DE,依次两两相交于点P,Q,M,N.求证:PQMN是正方形.
已知:E,F,G,H分别为正方形ABCD各边AB,BC,CD,DA的中点,连接AF,BG,CH,DE,依次两两相交于点P,Q,M,N.求证:PQMN是正方形.
已知:E,F,G,H分别为正方形ABCD各边AB,BC,CD,DA的中点,连接AF,BG,CH,DE,依次两两相交于点P,Q,M,N.求证:PQMN是正方形.
在正方形ABCD中,E,F是分别是AB,BC边的中点,显然RtABF三角形与Rt三角形BCG是全等的.所以∠AFB=∠BGC 且,因为∠BGC+∠CBG=90° 所以∠CBG+∠AFB=90°,所以△BFP为直角△.即证 AF⊥BG 同理AF⊥CH DE⊥CH DE⊥AF 所以四边形PQMN是矩形.
接下来证邻边相等.Rt△ABP与Rt△DAN是全等的,这个角边角就可以证明了,所以DN=AP.E是AB的中点,有通过前面可以得到DE∥BG 所以N是AP的中点.即NP=1/2AP 同理MN=1/2DN
所以NP=NM 即证得邻边相等
综上,PQMN是正方形
AH∥CF,AH=CF
得到AFCH为平行四边形,AF∥CH
同理DE∥BG;这样就是平行四边形了,再证有直角
AB∥CG,所以∠ABG=∠BGC,由ABF,BCG全等可得∠BAF=∠CBG
所以△ABP∽△BCG,所以∠APB是直角,即∠APQ=90°
即,PQMN是正方形有一个角为90°的平行四边形不是矩形么?...
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AH∥CF,AH=CF
得到AFCH为平行四边形,AF∥CH
同理DE∥BG;这样就是平行四边形了,再证有直角
AB∥CG,所以∠ABG=∠BGC,由ABF,BCG全等可得∠BAF=∠CBG
所以△ABP∽△BCG,所以∠APB是直角,即∠APQ=90°
即,PQMN是正方形
收起
NP//MQ
同理NM//PQ
得到NPQM为平行四边形
得NPQM为矩形
即四边形NPQM为正方形。
有一个角为90°的平行四边形不是矩形么?是的